Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
\int x \arctan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \arctan x \, dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e das derivadas e primitividades de \arctan x e de x.

Passo 2

Escolhemos
u = \arctan x, \quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{1+x^2}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x \arctan x \, dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^2}{2}\,\arctan x - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 4

Para simplificar a integral remanescente, observe que
\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}.
Logo,
\int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^2}\Bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(x - \arctan x\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta na expressão principal:
\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2}\,\arctan x - \frac{1}{2}\bigl(x - \arctan x\bigr) + C = \frac{x^2+1}{2}\,\arctan x - \frac{x}{2} + C.

Resposta

\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2+1}{2}\,\arctan x - \frac{x}{2} + C.

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