Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos de
com a restrição
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre os pontos críticos de
sujeitos à restrição
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta explícita: achar os pontos críticos de
sob essa restrição (ou seja, pontos
na circunferência de raio
onde
tem extremos sujeitos à restrição).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando queremos extremos de uma função com uma restrição do tipo
, os vetores gradientes ficam paralelos no ponto extremo. O gradiente de uma função é o vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento local da função. Então, para um extremo sujeito à restrição
, existe um escalar
tal que
Aqui vamos escolher a função de restrição
de modo que
é exatamente a circunferência dada. A equação acima dá um sistema que, junto com
, nos permite encontrar os candidatos a extremos.
Passo 3
Montamos a função lagrangiana (apenas para organizar as equações):
As condições de extremalidade são as derivadas parciais nulas:
Calculamos as derivadas parciais:
Colocando igual a zero obtemos o sistema
Passo 4
Resolvo as duas primeiras equações em termos de
. Da primeira:
Da segunda:
Portanto temos
Passo 5
Substituo essas expressões na restrição
:
Faço as contas passo a passo:
Coloco em comum denominador:
Logo
Divido ambos os lados por
:
Inverto e resolvo para
:
Portanto
Passo 6
Calculo
para cada valor de
.
Para
:
Verificação rápida:
OK.
Para
:
Verificação:
OK.
Portanto os candidatos são
e
.
Passo 7
Avalio
nesses pontos para decidir máximo/minimo (a circunferência é um conjunto fechado e limitado, e
é contínua, então os extremos existem e são globais na restrição).
Calculo:
Passo 8
Conclusão sobre classificação: entre os valores obtidos,
é o maior e
é o menor. Logo
é o ponto de máximo (máximo global sujeito à restrição) e
é o ponto de mínimo (mínimo global sujeito à restrição).