Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos críticos de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}+2 \mathrm{y} com a restrição x^{2}+y^{2}=5

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os pontos críticos de \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{x}+2\mathrm{y} sujeitos à restrição \;x^{2}+y^{2}=5.\n
Informações dadas:
\mathrm{f}(x,y)=x+2y
\text{restrição: } x^{2}+y^{2}=5çã
Pergunta explícita: achar os pontos críticos de \mathrm{f} sob essa restrição (ou seja, pontos (x,y) na circunferência de raio \sqrt{5} onde \mathrm{f} tem extremos sujeitos à restrição).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando queremos extremos de uma função com uma restrição do tipo g(x,y)=0, os vetores gradientes ficam paralelos no ponto extremo. O gradiente de uma função é o vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento local da função. Então, para um extremo sujeito à restrição g(x,y)=0, existe um escalar \lambda tal que
\boldsymbol{\nabla} f(x,y)=\lambda\,\boldsymbol{\nabla} g(x,y).
Aqui vamos escolher a função de restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-5,
de modo que g(x,y)=0 é exatamente a circunferência dada. A equação acima dá um sistema que, junto com g(x,y)=0, nos permite encontrar os candidatos a extremos.

Passo 3

Montamos a função lagrangiana (apenas para organizar as equações):
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y)=x+2y-\lambda\left(x^{2}+y^{2}-5\right).
As condições de extremalidade são as derivadas parciais nulas:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad g(x,y)=0.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2-2\lambda y.
Colocando igual a zero obtemos o sistema
1-2\lambda x=0,
2-2\lambda y=0,
x^{2}+y^{2}=5.

Passo 4

Resolvo as duas primeiras equações em termos de \lambda. Da primeira:
1-2\lambda x=0\implies 2\lambda x=1\implies x=\frac{1}{2\lambda}.
Da segunda:
2-2\lambda y=0\implies 2\lambda y=2\implies y=\frac{2}{2\lambda}=\frac{1}{\lambda}.
Portanto temos
x=\frac{1}{2\lambda},\qquad y=\frac{1}{\lambda}.

Passo 5

Substituo essas expressões na restrição x^{2}+y^{2}=5:
\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}=5.
Faço as contas passo a passo:
\frac{1}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{\lambda^{2}}=5.
Coloco em comum denominador:
\frac{1}{4\lambda^{2}}+\frac{4}{4\lambda^{2}}=\frac{5}{4\lambda^{2}}=5.
Logo
\frac{5}{4\lambda^{2}}=5.
Divido ambos os lados por 5:
\frac{1}{4\lambda^{2}}=1.
Inverto e resolvo para \lambda^{2}:
4\lambda^{2}=1\implies \lambda^{2}=\frac{1}{4}.
Portanto
\lambda=\pm\frac{1}{2}.

Passo 6

Calculo (x,y) para cada valor de \lambda.
Para \lambda=\frac{1}{2}:
x=\frac{1}{2\lambda}=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{1}{1}=1,
y=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.
Verificação rápida: 1^{2}+2^{2}=1+4=5 OK.
Para \lambda=-\frac{1}{2}:
x=\frac{1}{2\lambda}=\frac{1}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{-1}=-1,
y=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2.
Verificação: (-1)^{2}+(-2)^{2}=1+4=5 OK.
Portanto os candidatos são (1,2) e (-1,-2).

Passo 7

Avalio \mathrm{f} nesses pontos para decidir máximo/minimo (a circunferência é um conjunto fechado e limitado, e \mathrm{f} é contínua, então os extremos existem e são globais na restrição).
Calculo:
\mathrm{f}(1,2)=1+2\cdot 2=1+4=5,
\mathrm{f}(-1,-2)=-1+2\cdot(-2)=-1-4=-5.

Passo 8

Conclusão sobre classificação: entre os valores obtidos, 5 é o maior e -5 é o menor. Logo (1,2) é o ponto de máximo (máximo global sujeito à restrição) e (-1,-2) é o ponto de mínimo (mínimo global sujeito à restrição).

Resposta

(1,2) é ponto de máximo com \mathrm{f}(1,2)=5
(-1,-2) é ponto de mínimo com \mathrm{f}(-1,-2)=-5

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