Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função
com a restrição
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos críticos de
sujeitos à restrição dada. Informações fornecidas:
- Função objetivo:
. - Restrição (curva onde os pontos devem estar):
. - A tarefa é encontrar todos os pontos
que satisfazem a restrição e que são candidatos a extremos de quando restrita a essa curva.
Passo 2
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Ideia-chave (explicada passo a passo): definimos uma função auxiliar onde introduzimos um multiplicador
que “força” a restrição. Escrevemos a condição de optimalidade exigindo que o gradiente de
seja paralelo ao gradiente da função que define a restrição.
- Definimos a função de restrição
. A restrição é . - Construímos a função de Lagrange
Aqui
é o multiplicador de Lagrange; é uma variável auxiliar que ajustamos para cumprir a restrição.
- As condições de estacionaridade são obtidas anulando as derivadas parciais de
em relação a , e :
A última condição
recupera a restrição
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias. Primeiro as derivadas de
e de
:
- Para
:
Aqui explique:
é a taxa de variação de
quando só
varia; derivamos termo a termo:
,
, os outros termos são constantes em
.
- Para
:
Passo 4
Escrevemos as equações de Lagrange
e a restrição:
Podemos simplificar as duas primeiras dividindo por
:
Passo 5
Analisemos a equação
. Essa equação é do tipo produto igual a zero quando escrita como
. Logo há duas possibilidades:
- Caso A:
. - Caso B:
.
Vamos tratar cada caso separadamente.
Passo 6
Caso A:
.
- A restrição
vira , então
- Verificamos a primeira equação
para cada : - Se
: então . - Se
: então .
Ambas as soluções são consistentes. Portanto obtemos os pontos críticose .
- Se
Passo 7
Caso B:
.
- Substituindo em
temos
- Com
, a restrição dá
Portanto obtemos os pontos críticos
e
.
Passo 8
Resumo dos pontos críticos encontrados:
,
,
e
. Todos satisfazem a restrição
e as equações de Lagrange.
Passo 9
(Etapa extra útil na prova: classificar os pontos calculando
em cada um — como
é contínua e a restrição é um círculo compacto, os extremos globais existem e estão entre esses pontos.)
- Calculemos
em cada ponto: -
- Conclusões rápidas:
- O menor valor entre esses é
em (então é mínimo global restrito ao círculo). - O maior valor é
nos pontos e (são máximos globais restritos). - O ponto
é um ponto crítico, mas não é nem máximo nem mínimo global (valor intermediário).
- O menor valor entre esses é