Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos críticos da função f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}+2 x+3 com a restrição x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos de f sujeitos à restrição dada. Informações fornecidas:
  • Função objetivo: f(x,y)=x^{2}+2y^{2}+2x+3.
  • Restrição (curva onde os pontos devem estar): x^{2}+y^{2}=4.
  • A tarefa é encontrar todos os pontos (x,y) que satisfazem a restrição e que são candidatos a extremos de f quando restrita a essa curva.

Passo 2

Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Ideia-chave (explicada passo a passo): definimos uma função auxiliar onde introduzimos um multiplicador \lambda que “força” a restrição. Escrevemos a condição de optimalidade exigindo que o gradiente de f seja paralelo ao gradiente da função que define a restrição.
  • Definimos a função de restrição g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4. A restrição é g(x,y)=0.
  • Construímos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y).
Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange; é uma variável auxiliar que ajustamos para cumprir a restrição.
  • As condições de estacionaridade são obtidas anulando as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a x, y e \lambda:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.
A última condição \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0 recupera a restrição g(x,y)=0.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Primeiro as derivadas de f e de g:
  • Para f(x,y)=x^{2}+2y^{2}+2x+3:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y.
Aqui explique: \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x varia; derivamos termo a termo: \frac{d}{dx}x^{2}=2x, \frac{d}{dx}2x=2, os outros termos são constantes em x.
  • Para g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.

Passo 4

Escrevemos as equações de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g e a restrição:
2x+2 = \lambda\cdot 2x,
4y = \lambda\cdot 2y,
x^{2}+y^{2}=4.
Podemos simplificar as duas primeiras dividindo por 2:
x+1 = \lambda x,
2y = \lambda y.

Passo 5

Analisemos a equação \,2y=\lambda y. Essa equação é do tipo produto igual a zero quando escrita como (2-\lambda)y=0. Logo há duas possibilidades:
  • Caso A: y=0.
  • Caso B: \lambda=2.
Vamos tratar cada caso separadamente.

Passo 6

Caso A: y=0.
  • A restrição x^{2}+y^{2}=4 vira x^{2}=4, então
x=\pm 2.
  • Verificamos a primeira equação x+1=\lambda x para cada x:
    • Se x=2: 2+1=3=\lambda\cdot 2 então \lambda=\dfrac{3}{2}.
    • Se x=-2: -2+1=-1=\lambda\cdot(-2) então \lambda=\dfrac{1}{2}.
      Ambas as soluções são consistentes. Portanto obtemos os pontos críticos (2,0) e (-2,0).

Passo 7

Caso B: \lambda=2.
  • Substituindo em x+1=\lambda x temos
x+1=2x \quad\Rightarrow\quad 1=x.
  • Com x=1, a restrição dá
1^{2}+y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{3}.
Portanto obtemos os pontos críticos (1,\sqrt{3}) e (1,-\sqrt{3}).

Passo 8

Resumo dos pontos críticos encontrados: (2,0), (-2,0), (1,\sqrt{3}) e (1,-\sqrt{3}). Todos satisfazem a restrição x^{2}+y^{2}=4 e as equações de Lagrange.

Passo 9

(Etapa extra útil na prova: classificar os pontos calculando f em cada um — como f é contínua e a restrição é um círculo compacto, os extremos globais existem e estão entre esses pontos.)
  • Calculemos f em cada ponto:
    • f(2,0)=2^{2}+2\cdot 0^{2}+2\cdot 2+3=4+0+4+3=11.
    • f(-2,0)=(-2)^{2}+2\cdot 0^{2}+2\cdot(-2)+3=4+0-4+3=3.
    • f(1,\pm\sqrt{3})=1^{2}+2(\sqrt{3})^{2}+2\cdot 1+3=1+2\cdot 3+2+3=1+6+2+3=12.
  • Conclusões rápidas:
    • O menor valor entre esses é 3 em (-2,0) (então (-2,0) é mínimo global restrito ao círculo).
    • O maior valor é 12 nos pontos (1,\sqrt{3}) e (1,-\sqrt{3}) (são máximos globais restritos).
    • O ponto (2,0) é um ponto crítico, mas não é nem máximo nem mínimo global (valor intermediário).

Resposta

(2,0)
(-2,0)
(1,\sqrt{3})
(1,-\sqrt{3})

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