Use o método do Problema 3 para resolver a equação \frac{d y}{d x}=\frac{2 y-x+7}{4 x-3 y-18}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2y - x + 7}{4x - 3y - 18}
Usaremos o método de translação para eliminar constantes e obter uma equação homogênea, depois faremos a substituição v=Y/X para separar variáveis.

Passo 2

Encontramos o ponto (x_0,y_0)\) que anula numerador e denominador simultaneamente, resolvendo \[\begin{cases} 2y - x + 7 = 0,\\\\ 4x - 3y - 18 = 0. \end{cases}
Da primeira, x=2y+7\]. Substituindo na segunda: \[4(2y+7)-3y-18=0\;\Longrightarrow\;8y+28-3y-18=0\;\Longrightarrow\;5y+10=0\;\Longrightarrow\;y=-2,\] logo \(x=2(-2)+7=3.

Passo 3

Fazemos a mudança de variáveis
X = x - 3,\quad Y = y + 2,
de forma que o ponto crítico vire (0,0). Substituindo na equação original obtém-se
\frac{dY}{dX} =\frac{2Y - X}{4X - 3Y},
que é homogênea de grau 1 em (X,Y).

Passo 4

Como a função é homogênea, usamos v = \frac{Y}{X}, ou seja Y=vX. Então
\frac{dY}{dX} =v + X\frac{dv}{dX} \quad\text{e}\quad \frac{2Y - X}{4X - 3Y} =\frac{2vX - X}{4X - 3vX} =\frac{2v - 1}{4 - 3v}.
Igualando:
v + X\frac{dv}{dX} =\frac{2v - 1}{4 - 3v} \;\Longrightarrow\; X\frac{dv}{dX} =\frac{2v - 1}{4 - 3v}-v =\frac{3v^2 - 2v - 1}{4 - 3v} =\frac{(3v+1)(v-1)}{4 - 3v}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{4 - 3v}{(3v+1)(v-1)}\,dv =\frac{dX}{X}.
Fazendo frações parciais:
\frac{4 - 3v}{(3v+1)(v-1)} =\frac{A}{3v+1}+\frac{B}{v-1},
com A=-\tfrac{15}{4} e B=\tfrac14. Logo
-\frac{15}{4}\int\frac{dv}{3v+1} +\frac{1}{4}\int\frac{dv}{v-1} =\int\frac{dX}{X}.

Passo 6

As integrais dão
-\frac{15}{4}\cdot\frac{1}{3}\ln|3v+1| +\frac{1}{4}\ln|v-1| =\ln|X|+C \;\Longrightarrow\; -5\ln|3v+1|+\ln|v-1| =4\ln|X|+C'.
Em forma exponencial:
\frac{v-1}{(3v+1)^5} =C\,X^4.

Passo 7

Voltando a v=Y/X e às variáveis originais
v-1=\frac{Y}{X}-1=\frac{y+2}{x-3}-1 =\frac{y-x+5}{x-3}, \quad 3v+1=\frac{3(y+2)}{x-3}+1=\frac{x+3y+3}{x-3}.
Substituindo em \frac{v-1}{(3v+1)^5}=C\,X^4 e cancelando (x-3)^4, obtemos a solução implícita:
\frac{y - x + 5}{\bigl(x+3y+3\bigr)^5} =C.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
\boxed{\frac{y - x + 5}{\bigl(x+3y+3\bigr)^5}=C,}
onde C é constante arbitrária.

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