Faça uma substituição apropriada para achar uma geral da equação
. Esta solução contém a solução
?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando uma substituição apropriada. O conteúdo envolvido é ODE separável após mudança de variável.
Passo 2
Fazemos a troca de variável
Então
e, derivando em relação a
,
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Passo 4
É uma equação separável. Escrevemos
Para integrar o lado esquerdo, usamos
logo
Passo 5
As primitivas são
Portanto, após a integração:
Voltando a
, a solução geral fica dada implicitamente por
Passo 6
A reta
corresponde a
ou seja,
é constante. De fato,
e
, logo satisfaz a ODE. Mas como
nessa linha, a separação de variáveis (que divide por
) não inclui essa solução. Assim, trata-se de solução singular.
Resposta
A solução geral é
e a reta
aparece como solução singular, não como caso particular da família acima.