Faça uma substituição apropriada para achar uma geral da equação y^{\prime}=\operatorname{sen}(x-y). Esta solução contém a solução \mathrm{y}=\mathrm{x}-\frac{\pi}{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \operatorname{sen}\bigl(x - y\bigr)
usando uma substituição apropriada. O conteúdo envolvido é ODE separável após mudança de variável.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = x - y.
Então
y = x - u
e, derivando em relação a x,
y' = 1 - u'.

Passo 3

Substituindo em y' = \operatorname{sen}(u) obtemos
1 - u' = \operatorname{sen}(u) \quad\Longrightarrow\quad u' = 1 - \operatorname{sen}(u).

Passo 4

É uma equação separável. Escrevemos
\frac{du}{1 - \operatorname{sen}(u)} = dx.
Para integrar o lado esquerdo, usamos
\frac{1}{1 - \operatorname{sen}(u)} \;=\;\frac{1+\operatorname{sen}(u)}{1-\operatorname{sen}^2(u)} =\frac{1+\operatorname{sen}(u)}{\cos^2(u)},
logo
\int \frac{du}{1 - \operatorname{sen}(u)} = \int \frac{1+\operatorname{sen}(u)}{\cos^2(u)}\,du = \int \operatorname{sec}^2(u)\,du + \int \frac{\operatorname{sen}(u)}{\cos^2(u)}\,du.

Passo 5

As primitivas são
\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \tan(u), \quad \int \frac{\operatorname{sen}(u)}{\cos^2(u)}\,du = \operatorname{sec}(u).
Portanto, após a integração:
\tan(u) + \operatorname{sec}(u) = x + C.
Voltando a u = x - y, a solução geral fica dada implicitamente por
\tan\bigl(x - y\bigr) + \operatorname{sec}\bigl(x - y\bigr) = x + C.

Passo 6

A reta y = x - \tfrac{\pi}{2} corresponde a
u = x - y = \frac{\pi}{2},
ou seja, u é constante. De fato, u' = 0 e 1 - \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2}) = 0, logo satisfaz a ODE. Mas como \cos(u)=0 nessa linha, a separação de variáveis (que divide por \cos^2(u)) não inclui essa solução. Assim, trata-se de solução singular.

Resposta

A solução geral é
\tan\bigl(x - y\bigr) + \operatorname{sec}\bigl(x - y\bigr) = x + C,
e a reta y = x - \tfrac{\pi}{2} aparece como solução singular, não como caso particular da família acima.

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