Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDO’s.
m) y^{\prime}=\frac{y \cos x}{1+2 y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = \frac{y \cos x}{1+2y^2}
usando o método de separação de variáveis. Vamos identificar como separar y e x para depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro, obtemos
\frac{1+2y^2}{y}\,dy = \cos x\,dx.
Note que \frac{1+2y^2}{y} = \frac{1}{y} + 2y, o que facilita a integração.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{y} + 2y\Bigr)\,dy = \int \cos x\,dx.
No lado esquerdo, temos
\int \frac{1}{y}\,dy + \int 2y\,dy = \ln\lvert y\rvert + y^2,
e no direito
\int \cos x\,dx = \sin x.

Passo 4

Colocando o resultado da integração em forma implícita e acrescentando a constante arbitrária C, chegamos a
\ln\lvert y\rvert + y^2 = \sin x + C.

Resposta

\boxed{\ln\lvert y\rvert + y^2 = \sin x + C}

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