Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x^{2}}{\left(4 x^{3}+1\right)^{7}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{\bigl(4x^{3}+1\bigr)^{7}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos escolher uma substituição que torne o denominador simples.

Passo 2

Definimos
u = 4x^{3} + 1.
Derivando em relação a x, obtemos
du = 12x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{12}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^{2}}{\bigl(4x^{3}+1\bigr)^{7}}\,dx = \int \frac{1}{u^{7}}\cdot\frac{1}{12}\,du = \frac{1}{12}\int u^{-7}\,du.
Agora basta integrar uma potência de u:
\frac{1}{12}\int u^{-7}\,du = \frac{1}{12}\cdot\frac{u^{-6}}{-6} + C = -\frac{1}{72}\,u^{-6} + C.

Passo 4

Volta à variável x trocando u por 4x^{3}+1:
-\frac{1}{72}\,u^{-6} + C = -\frac{1}{72}\,\bigl(4x^{3}+1\bigr)^{-6} + C.

Resposta

-\frac{1}{72\,(4x^{3}+1)^{6}} + C

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