Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int\left(1-x^{3 / 2}\right)^{5 / 3} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \left(1 - x^{3/2}\right)^{5/3} \sqrt{x}\,dx
usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte cuja derivada aparece multiplicando-a.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 - x^{3/2}
dessa forma
du = -\frac{3}{2}\,x^{1/2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{1/2}\,dx = -\frac{2}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \left(1 - x^{3/2}\right)^{5/3} \sqrt{x}\,dx = \int u^{5/3}\,\bigl(-\tfrac{2}{3}\,du\bigr) = -\frac{2}{3}\,\int u^{5/3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{5/3}\,du = \frac{u^{8/3}}{8/3} = \frac{3}{8}\,u^{8/3}.
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-\frac{2}{3}\,\int u^{5/3}\,du = -\frac{2}{3}\,\cdot\frac{3}{8}\,u^{8/3} = -\frac{1}{4}\,u^{8/3}.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 1 - x^{3/2} e adicionamos a constante de integração C:
-\frac{1}{4}\,u^{8/3} + C = -\frac{1}{4}\,\bigl(1 - x^{3/2}\bigr)^{8/3} + C.

Resposta

-\frac{1}{4}\,\bigl(1 - x^{3/2}\bigr)^{8/3} + C

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