Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+4\right)^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{\bigl(x^{3}+4\bigr)^{5}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos reconhecer uma parte cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3} + 4
porque du envolverá x^{2}\,dx, termo que está no numerador.

Passo 3

Derivando u em relação a x, temos
du = 3x^{2}\,dx
e, portanto,
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int \frac{x^{2}}{\bigl(x^{3}+4\bigr)^{5}}\,dx = \int \frac{1}{u^{5}}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{-5}\,du.
Agora integramos em u:
\frac{1}{3}\int u^{-5}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{12}\,u^{-4} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, com u = x^{3}+4:
-\frac{1}{12}\,\bigl(x^{3}+4\bigr)^{-4} + C.

Resposta

-\frac{1}{12}\bigl(x^{3}+4\bigr)^{-4} + C.

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