Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int x^{2} \sqrt{3-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\,\sqrt{3-2x}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo principal aqui é escolher uma boa substituição que simplifique a raiz quadrada e todo o resto em termos de uma nova variável u.

Passo 2

Escolhemos a substituição que anula o que está dentro da raiz:
u = 3 - 2x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
du = -2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\frac{1}{2}\,du.
Também precisamos expressar x (e, portanto, x^2) em função de u. Da equação u = 3 - 2x vem
2x = 3 - u \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3 - u}{2},
então
x^2 = \left(\frac{3 - u}{2}\right)^{2} = \frac{(3 - u)^{2}}{4}.

Passo 3

Agora substituímos tudo na integral original:
\int x^{2}\,\sqrt{3-2x}\,dx = \int \frac{(3 - u)^{2}}{4}\,\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr).
Fatorando constantes:
= -\frac{1}{8} \int (3 - u)^{2}\,u^{1/2}\,du.
Expandimos (3 - u)^{2} = 9 - 6u + u^{2} e multiplicamos por u^{1/2}:
(3 - u)^{2}\,u^{1/2} = 9u^{1/2} - 6u^{3/2} + u^{5/2}.
Logo
-\frac{1}{8} \int \bigl(9u^{1/2} - 6u^{3/2} + u^{5/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo, lembrando que \displaystyle\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1}:
-\frac{1}{8}\Bigl[ 9 \cdot \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} -6 \cdot \frac{u^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} +1 \cdot \frac{u^{7/2}}{\tfrac{7}{2}} \Bigr] + C.
Simplificando cada fração:
\frac{9}{\tfrac{3}{2}} = 9\cdot \frac{2}{3}=6, \quad \frac{6}{\tfrac{5}{2}} = 6\cdot \frac{2}{5}=\frac{12}{5}, \quad \frac{1}{\tfrac{7}{2}} = \frac{2}{7}.
Então a primitiva em u é
-\frac{1}{8}\Bigl( 6u^{3/2} - \frac{12}{5}u^{5/2} + \frac{2}{7}u^{7/2} \Bigr) + C.

Passo 5

Voltam­do para x usando u = 3 - 2x:
-\frac{1}{8}\Bigl( 6(3-2x)^{3/2} - \frac{12}{5}(3-2x)^{5/2} + \frac{2}{7}(3-2x)^{7/2} \Bigr) + C.
Podemos distribuir o -\tfrac18 em cada termo:
-\frac{6}{8}(3-2x)^{3/2} + \frac{12}{40}(3-2x)^{5/2} - \frac{2}{56}(3-2x)^{7/2} + C.
E simplificar as frações:
-\frac{3}{4}(3-2x)^{3/2} + \frac{3}{10}(3-2x)^{5/2} - \frac{1}{28}(3-2x)^{7/2} + C.

Resposta

\int x^{2}\,\sqrt{3-2x}\,dx = -\frac{3}{4}(3-2x)^{3/2} + \frac{3}{10}(3-2x)^{5/2} - \frac{1}{28}(3-2x)^{7/2} + C.

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