Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\ln x^{2}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\ln x^{2}}{x}\,dx
usando o método de substituição. Vamos precisar da propriedade dos logaritmos e da técnica de u-substituição.

Passo 2

Aplicamos a propriedade
\ln x^{2} = 2\,\ln x
para reescrever a integral:
\int \frac{\ln x^{2}}{x}\,dx = \int 2\,\frac{\ln x}{x}\,dx = 2\int \frac{\ln x}{x}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = \ln x, \quad dt = \frac{dx}{x}.
Com isso,
2\int \frac{\ln x}{x}\,dx = 2\int t\,dt.

Passo 4

Integramos em t:
2\int t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2} + C = t^{2} + C.
Voltando a variável original x, temos t=\ln x, logo o resultado é (\ln x)^{2}+C.

Resposta

(\ln x)^{2} + C

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