Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{3+5 \cos (2 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\sin(2x)}{3+5\cos(2x)}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo principal é reconhecer uma parte da integral cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3 + 5\cos(2x).
Derivando em relação a x, obtemos
du = -10\,\sin(2x)\,dx
ou seja
\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{10}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{\sin(2x)}{3+5\cos(2x)}\,dx = \int \frac{-\tfrac{1}{10}\,du}{u} = -\tfrac{1}{10}\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{10}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original, u = 3 + 5\cos(2x), resulta
-\,\tfrac{1}{10}\ln\bigl|3 + 5\cos(2x)\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{\sin(2x)}{3+5\cos(2x)}\,dx = -\frac{1}{10}\ln\bigl|3+5\cos(2x)\bigr| + C.

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