Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \tan x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan x \,\operatorname{sec}^{2}x\,dx
usando o método de substituição. Vamos aproveitar que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan x
então
du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Isso transforma a integral original em
\int \tan x \,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int u\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = \tan x:
\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\tan^{2}x}{2} + C.

Resposta

\frac{1}{2}\tan^{2}x + C

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