Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{t}{\sqrt{t+5}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função \displaystyle \frac{t}{\sqrt{t+5}}
usando o método de substituição. Vamos introduzir uma variável nova que simplifique a raiz.

Passo 2

Definimos
u = t + 5
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t = u - 5 \quad\text{e}\quad d t = d u.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{t}{\sqrt{t+5}}\,d t = \int \frac{u - 5}{\sqrt{u}}\,d u = \int\bigl(u^{1/2} - 5\,u^{-1/2}\bigr)\,d u.

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente:
\int u^{1/2}\,d u = \frac{2}{3}\,u^{3/2},
\int 5\,u^{-1/2}\,d u = 5 \times 2\,u^{1/2} = 10\,u^{1/2}.
Portanto, a antiderivada em função de u é
\frac{2}{3}\,u^{3/2} \;-\; 10\,u^{1/2} \;+\; C.

Passo 5

Voltando à variável original t, basta substituir u = t + 5:
F(t) = \frac{2}{3}\,(t+5)^{3/2} \;-\; 10\,(t+5)^{1/2} \;+\; C.

Resposta

\frac{2}{3}\,(t+5)^{3/2} \;-\; 10\,(t+5)^{1/2} \;+\; C

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