Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{s}{\sqrt[3]{5 s^{2}+16}} d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{s}{\sqrt[3]{5s^{2}+16}}\,ds
usando o método de substituição. Esse método consiste em escolher uma substituição u = g(s) que torne o integrando em função direta de u e do seu diferencial du.

Passo 2

Vamos identificar dentro da raiz cúbica uma função cuja derivada apareça multiplicando fora. Note que
u = 5s^{2} + 16
então
\frac{du}{ds} = 10s \quad\Longrightarrow\quad s\,ds = \frac{du}{10}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos \sqrt[3]{5s^{2}+16}=u^{1/3} e s\,ds = du/10. Logo,
\int \frac{s}{\sqrt[3]{5s^{2}+16}}\,ds = \int \frac{1}{u^{1/3}}\;\frac{du}{10} = \frac{1}{10}\int u^{-\tfrac{1}{3}}\,du.
Agora integramos em u:
\int u^{-\tfrac{1}{3}}\,du = \frac{u^{-\tfrac{1}{3}+1}}{-\tfrac{1}{3}+1} = \frac{u^{2/3}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}\,u^{2/3}.
Portanto,
\frac{1}{10}\int u^{-\tfrac{1}{3}}\,du = \frac{1}{10}\cdot\frac{3}{2}\,u^{2/3} = \frac{3}{20}\,u^{2/3}.

Passo 4

Voltando à variável original s com u=5s^{2}+16, o resultado final é
\frac{3}{20}\,(5s^{2}+16)^{2/3} + C.

Resposta

\int \frac{s}{\sqrt[3]{5s^{2}+16}}\,ds = \frac{3}{20}\,(5s^{2}+16)^{\tfrac{2}{3}} + C.

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