Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \frac{2 x^{2}-1}{\left(6 x^{3}-9 x+1\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{2}-1}{\bigl(6x^{3}-9x+1\bigr)^{3/2}}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo aqui é cálculo de primitiva de uma função composta, onde é conveniente escolher como substituição o polinômio que aparece dentro da potência.

Passo 2

Vamos definir a substituição
u = 6x^{3} - 9x + 1.
Essa escolha visa simplificar o denominador \bigl(6x^{3}-9x+1\bigr)^{3/2}.

Passo 3

Computamos a diferencial de u:
du = \bigl(18x^{2} - 9\bigr)\,dx = 9\,(2x^{2}-1)\,dx.
Logo, isolamos (2x^{2}-1)\,dx:
(2x^{2}-1)\,dx = \frac{du}{9}.

Passo 4

Substituímos na integral original:
\int \frac{2x^{2}-1}{\bigl(6x^{3}-9x+1\bigr)^{3/2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3/2}}\cdot\frac{du}{9} = \frac{1}{9}\int u^{-3/2}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u:
\int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-\tfrac12} = -2\,u^{-1/2}.
Portanto,
\frac{1}{9}\int u^{-3/2}\,du = -\frac{2}{9}\,u^{-1/2} + C.
Voltando à variável x, obtemos
-\frac{2}{9}\,\frac{1}{\sqrt{6x^{3}-9x+1}} + C.

Resposta

-\frac{2}{9\sqrt{6x^{3}-9x+1}} + C.

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