Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int\left(x+\frac{5}{x}\right)^{21}\left(\frac{x^{2}-5}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(x+\tfrac{5}{x}\bigr)^{21}\,\bigl(\tfrac{x^{2}-5}{x^{2}}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. Vamos identificar dentro da integral uma expressão cuja derivada também aparece como fator multiplicativo.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x + \tfrac{5}{x}.
Agora calculamos du. Diferenciando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 1 - \frac{5}{x^{2}} = \frac{x^{2}-5}{x^{2}}.
Logo,
du = \frac{x^{2}-5}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Observamos que exatamente o fator \frac{x^{2}-5}{x^{2}}\,dx aparece na integral original. Assim, podemos reescrever
\int \bigl(x+\tfrac{5}{x}\bigr)^{21}\,\bigl(\tfrac{x^{2}-5}{x^{2}}\bigr)\,dx = \int u^{21}\,du.

Passo 4

A integral de u^{21} em relação a u é imediata pelo poder da primitivação:
\int u^{21}\,du = \frac{u^{22}}{22} + C.

Passo 5

Por fim, desfazemos a substituição u = x + \tfrac{5}{x}. Assim, a primitiva fica
\frac{1}{22}\bigl(x + \tfrac{5}{x}\bigr)^{22} + C.

Resposta

\frac{1}{22}\bigl(x + \tfrac{5}{x}\bigr)^{22} + C

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