Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int x^{3} \operatorname{sec} \left(10 x^{4}\right) \tan \left(10 x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{3}\,\operatorname{sec}\bigl(10x^{4}\bigr)\,\tan\bigl(10x^{4}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo envolvido é integral de função composta, e vamos escolher uma substituição que elimine o x^{3}dx e simplifique o argumento das funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 10x^{4}.
Derivando ambos os lados, obtemos
du = 40\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{40}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int x^{3}\,\operatorname{sec}\bigl(10x^{4}\bigr)\,\tan\bigl(10x^{4}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,\frac{du}{40} = \frac{1}{40}\,\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \operatorname{sec}(u) + C.
Logo,
\frac{1}{40}\,\int \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,du = \frac{1}{40}\,\operatorname{sec}(u) + C.
Voltando à variável x, com u=10x^{4}, resulta
\frac{1}{40}\,\operatorname{sec}\bigl(10x^{4}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{40}\,\operatorname{sec}\bigl(10x^{4}\bigr) + C

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