Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \operatorname{sec} ^{2}(3 x) \tan (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,\tan(3x)\,dx
usando o método de substituição. Vamos aproveitar que a derivada de \tan é \operatorname{sec}^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan(3x).
Como
\frac{du}{dx} = 3\,\operatorname{sec}^{2}(3x),
temos
du = 3\,\operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral original, obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,\tan(3x)\,dx = \int u \,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u\,du.

Passo 3

Agora basta integrar em u:
\frac{1}{3}\int u\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{u^{2}}{6} + C.
Voltando à variável x, substituímos u = \tan(3x) e obtemos
\frac{\tan^{2}(3x)}{6} + C.

Resposta

\frac{\tan^{2}(3x)}{6} + C

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