Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \operatorname{sec} ^{2}(5 x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{2}(5x+3)\,dx
usando o método de substituição. Lembre que a derivada de \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u), então queremos isolar essa parte interna.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x + 3,
então
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.
Substituindo na integral, obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}(5x+3)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 3

Como já sabemos que
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C,
temos
\frac{1}{5}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{5}\tan(u) + C.
Voltando para a variável x, fica
\frac{1}{5}\tan(5x+3) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\tan(5x+3) + C

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