Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int t \cos t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int t \cos t^{2} \,dt
usando o método da substituição. Aqui vamos explorar a ideia de “inverter” a regra da cadeia: identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece multiplicando o restante.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = t^{2}.
Então a diferencial de u é
du = 2t\,dt,
ou seja
t\,dt = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Agora reescrevemos a integral original em termos de u. Substituindo t^{2}=u e t\,dt=\tfrac12\,du, temos
\int t \cos t^{2}\,dt = \int \cos(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

A integral de \cos(u) em relação a u é \sin(u). Portanto,
\frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original t usando u=t^{2}. Assim o resultado fica
\frac{1}{2}\sin\bigl(t^{2}\bigr) + C.

Resposta

\int t \cos t^{2}\,dt = \frac{1}{2}\sin\bigl(t^{2}\bigr) + C.

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