Use o método de substituição para resolver as seguintes integrais
\int \operatorname{sen}(5 \theta-\pi) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}(5\theta - \pi)\,d\theta
usando o método de substituição. Vamos transformar o argumento da função numérica para simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = 5\theta - \pi.
Derivando, obtemos
du = 5\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad d\theta = \frac{du}{5}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \operatorname{sen}(5\theta - \pi)\,d\theta = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Sabendo que a antiderivada de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u), concluímos
\frac{1}{5}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{5}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{5}\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável \theta (onde u=5\theta-\pi), obtemos
-\frac{1}{5}\cos(5\theta-\pi) + C.
Usando a identidade \cos(x-\pi)=-\cos(x), isso fica
-\frac{1}{5}\bigl(-\cos(5\theta)\bigr) + C = \frac{1}{5}\cos(5\theta) + C.

Resposta

\frac{1}{5}\cos(5\theta) + C

Exercícios relacionados