Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas que vamos usar:
O que se pede: calcular
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Principais ferramentas que usaremos (explicadas de forma didática):
- Se temos uma integral com limites que dependem de
,
então, pelo teorema fundamental do cálculo combinado com a regra da cadeia,
Intuição curta: a variação de
vem das variações das extremidades; o integrando é avaliado nessas extremidades e multiplicado pelas derivadas das extremidades (é como “cadeia” sobre os limites).
- Regras de diferenciação que precisaremos:
- Regra da cadeia: se
, então .
Exemplo simples:porque derivamos o expoente e multiplicamos. - Derivada de
: . - Derivada de
: . - Regra do quociente: para
,
Vou aplicar tudo isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando a fórmula do Passo 2 à nossa integral:
Aqui explicitamente:
Agora vamos calcular
e
e também escrever
e
de forma explícita.
Passo 4
Cálculo de
com explicação:
Usamos a regra da cadeia em duas camadas:
e
.
Primeiro, derivada de em relação a
é
. Depois multiplicamos pela derivada de
.
A derivada de é
multiplicada pela derivada interna
.
Portanto
Primeiro, derivada de
A derivada de
Portanto
Posso reescrever de forma compacta:
Passo 5
Cálculo de
com explicação detalhada (quociente + cadeia):
Temos
Temos
Apliquemos a regra do quociente com
e
.
Calculemos e
:
Calculemos
- Para
, pela regra da cadeia, . - Para
, .
Agora a regra do quociente dá
Podemos deixar assim (já é uma forma correta). Se quiser:
Passo 6
Avaliar o integrando
em
e
:
- Para
:
então
- Para
:
logo
Uma forma algébrica mais limpa (multiplicando numerador e denominador por
) é
Ambas as formas são equivalentes; a segunda evita frações dentro de frações.
Passo 7
Agora juntamos tudo na fórmula de
. Substituindo
,
,
e
:
Opcionalmente podemos retirar o sinal negativo no segundo termo para clareza:
Essa é a expressão final para
. Dá pra ver cada pedaço: primeiro termo vem da variação do limite superior, segundo termo (com sinal trocado) vem da variação do limite inferior.