Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{\frac{\cos (2 x)}{x^{3}+7}}^{e^{\tan (5 x)}} \frac{u^{2}-1}{u^{2}+1} d u

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=\int_{\frac{\cos(2x)}{x^{3}+7}}^{e^{\tan(5x)}} \frac{u^{2}-1}{u^{2}+1}\,du.
Informações dadas que vamos usar:
\text{limite inferior: } a(x)=\frac{\cos(2x)}{x^{3}+7},
\text{limite superior: } b(x)=e^{\tan(5x)},
\text{integrando (variável 'dummy' }u\text{): } f(u)=\frac{u^{2}-1}{u^{2}+1}.á
O que se pede: calcular g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Principais ferramentas que usaremos (explicadas de forma didática):
  1. Se temos uma integral com limites que dependem de x,
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(u)\,du,
então, pelo teorema fundamental do cálculo combinado com a regra da cadeia,
G'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Intuição curta: a variação de G vem das variações das extremidades; o integrando é avaliado nessas extremidades e multiplicado pelas derivadas das extremidades (é como “cadeia” sobre os limites).
  1. Regras de diferenciação que precisaremos:
  • Regra da cadeia: se h(x)=\varphi(\psi(x)), então h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
    Exemplo simples: \frac{d}{dx}e^{\sin x}=e^{\sin x}\cos x porque derivamos o expoente e multiplicamos.
  • Derivada de \tan: \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Derivada de \cos: \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Regra do quociente: para h(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},
h'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Vou aplicar tudo isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando a fórmula do Passo 2 à nossa integral:
g'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Aqui explicitamente:
g'(x)=\frac{(b(x))^{2}-1}{(b(x))^{2}+1}\,b'(x)\;-\;\frac{(a(x))^{2}-1}{(a(x))^{2}+1}\,a'(x).
Agora vamos calcular b'(x) e a'(x) e também escrever f(b(x)) e f(a(x)) de forma explícita.

Passo 4

Cálculo de b'(x) com explicação:
b(x)=e^{\tan(5x)}.
Usamos a regra da cadeia em duas camadas: e^{(\cdot)} e \tan(5x).
Primeiro, derivada de e^{w} em relação a w é e^{w}. Depois multiplicamos pela derivada de w=\tan(5x).
A derivada de \tan(5x) é \operatorname{sec}^{2}(5x) multiplicada pela derivada interna 5.
Portanto
b'(x)=e^{\tan(5x)}\cdot \operatorname{sec}^{2}(5x)\cdot 5.
Posso reescrever de forma compacta:
b'(x)=5\,e^{\tan(5x)}\operatorname{sec}^{2}(5x).

Passo 5

Cálculo de a'(x) com explicação detalhada (quociente + cadeia):
Temos
a(x)=\frac{\cos(2x)}{x^{3}+7}.
Apliquemos a regra do quociente com p(x)=\cos(2x) e q(x)=x^{3}+7.
Calculemos p'(x) e q'(x):
  • Para p(x)=\cos(2x), pela regra da cadeia, p'(x)=-\sin(2x)\cdot 2=-2\sin(2x).
  • Para q(x)=x^{3}+7, q'(x)=3x^{2}.
    Agora a regra do quociente dá
a'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}} =\frac{\big(-2\sin(2x)\big)\big(x^{3}+7\big)-\cos(2x)\big(3x^{2}\big)}{(x^{3}+7)^{2}}.
Podemos deixar assim (já é uma forma correta). Se quiser:
a'(x)=\frac{-2\sin(2x)\,(x^{3}+7)-3x^{2}\cos(2x)}{(x^{3}+7)^{2}}.

Passo 6

Avaliar o integrando f em b(x) e a(x):
  • Para b(x):
(b(x))^{2}=\big(e^{\tan(5x)}\big)^{2}=e^{2\tan(5x)},
então
f\big(b(x)\big)=\frac{e^{2\tan(5x)}-1}{e^{2\tan(5x)}+1}.
  • Para a(x):
(a(x))^{2}=\left(\frac{\cos(2x)}{x^{3}+7}\right)^{2}=\frac{\cos^{2}(2x)}{(x^{3}+7)^{2}},
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f\big(a(x)\big)=\frac{\dfrac{\cos^{2}(2x)}{(x^{3}+7)^{2}}-1}{\dfrac{\cos^{2}(2x)}{(x^{3}+7)^{2}}+1}.
Uma forma algébrica mais limpa (multiplicando numerador e denominador por (x^{3}+7)^{2}) é
f\big(a(x)\big)=\frac{\cos^{2}(2x)-(x^{3}+7)^{2}}{\cos^{2}(2x)+(x^{3}+7)^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda evita frações dentro de frações.

Passo 7

Agora juntamos tudo na fórmula de g'(x). Substituindo f(b(x)), b'(x), f(a(x)) e a'(x):
g'(x)=\frac{e^{2\tan(5x)}-1}{e^{2\tan(5x)}+1}\cdot\big(5\,e^{\tan(5x)}\operatorname{sec}^{2}(5x)\big) \;-\;\frac{\cos^{2}(2x)-(x^{3}+7)^{2}}{\cos^{2}(2x)+(x^{3}+7)^{2}}\cdot\frac{-2\sin(2x)\,(x^{3}+7)-3x^{2}\cos(2x)}{(x^{3}+7)^{2}}.
Opcionalmente podemos retirar o sinal negativo no segundo termo para clareza:
g'(x)=5\,e^{\tan(5x)}\operatorname{sec}^{2}(5x)\cdot\frac{e^{2\tan(5x)}-1}{e^{2\tan(5x)}+1} \;+\;\frac{\cos^{2}(2x)-(x^{3}+7)^{2}}{\cos^{2}(2x)+(x^{3}+7)^{2}}\cdot\frac{2\sin(2x)\,(x^{3}+7)+3x^{2}\cos(2x)}{(x^{3}+7)^{2}}.
Essa é a expressão final para g'(x). Dá pra ver cada pedaço: primeiro termo vem da variação do limite superior, segundo termo (com sinal trocado) vem da variação do limite inferior.

Resposta

g'(x)=5\,e^{\tan(5x)}\operatorname{sec}^{2}(5x)\cdot\frac{e^{2\tan(5x)}-1}{e^{2\tan(5x)}+1} \;+\;\frac{\cos^{2}(2x)-(x^{3}+7)^{2}}{\cos^{2}(2x)+(x^{3}+7)^{2}}\cdot\frac{2\sin(2x)\,(x^{3}+7)+3x^{2}\cos(2x)}{(x^{3}+7)^{2}}

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