Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{\frac{\sin (x)}{x^{7}+x^{2}-1}}^{\cos \left(\sin \left(3 x^{2}\right)\right)} \frac{u^{3}}{1+u^{2}} d u

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar a derivada de g(x), onde
g(x)=\int_{\frac{\sin (x)}{x^{7}+x^{2}-1}}^{\cos \left(\sin \left(3 x^{2}\right)\right)} \frac{u^{3}}{1+u^{2}}\,du.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função integranda é f(u)=\dfrac{u^{3}}{1+u^{2}}.
  • O limite inferior é a(x)=\dfrac{\sin x}{x^{7}+x^{2}-1}.
  • O limite superior é b(x)=\cos(\sin(3x^{2})).
    A tarefa é calcular g'(x).

Passo 2

Ferramenta principal (explicada de forma direta): se temos \displaystyle G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(u)\,du, então — usando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia — a derivada é
G'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
O raciocínio: a variação do integral quando x muda vem da variação do limite superior (contribuição f(b(x))b'(x)) e da variação do limite inferior (contribuição negativa -f(a(x))a'(x)). Exemplo rápido e simples para fixar: se H(x)=\int_{0}^{x^2} t^2\,dt, então H'(x)=t^2\big|_{t=x^2}\cdot 2x=(x^2)^2\cdot 2x=2x^5. Aqui usamos exatamente a mesma ideia.

Passo 3

Derivada do limite superior b(x)=\cos(\sin(3x^{2})).
Vamos aplicar a regra da cadeia em dois níveis: primeiro \cos(v) com v=\sin(3x^2); depois \sin(w) com w=3x^2.
  • Derivada de \cos(v) em relação a v é -\sin(v).
  • Derivada de v=\sin(3x^2) em relação a x é \cos(3x^2)\cdot (6x) (pois \dfrac{d}{dx}3x^2=6x).
    Portanto,
b'(x)=-\sin\big(\sin(3x^2)\big)\cdot \cos(3x^2)\cdot 6x.
Podemos reescrever de forma mais compacta:
b'(x)=-6x\cos(3x^2)\,\sin\big(\sin(3x^2)\big).

Passo 4

Derivada do limite inferior a(x)=\dfrac{\sin x}{x^{7}+x^{2}-1}.
Usamos a regra do quociente: se a(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} então
a'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^2}.
Aqui N(x)=\sin x e D(x)=x^{7}+x^{2}-1. Então N'(x)=\cos x e D'(x)=7x^{6}+2x. Substituindo:
a'(x)=\frac{\cos x\,(x^{7}+x^{2}-1)-\sin x\,(7x^{6}+2x)}{(x^{7}+x^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

Agora montamos g'(x) usando a fórmula do Passo 2:
g'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x),
com f(u)=\dfrac{u^{3}}{1+u^{2}}.
Primeiro termo (limite superior): f(b(x))=\dfrac{\cos^{3}\big(\sin(3x^{2})\big)}{1+\cos^{2}\big(\sin(3x^{2})\big)} e multiplicamos por b'(x)=-6x\cos(3x^2)\sin(\sin(3x^2)).
Segundo termo (limite inferior): é conveniente simplificar f(a(x)) antes de multiplicar por a'(x). Com S=\sin x e D=x^{7}+x^{2}-1,
a(x)=\frac{S}{D}\quad\Rightarrow\quad f(a(x))=\frac{a(x)^3}{1+a(x)^2} =\frac{\dfrac{S^3}{D^3}}{1+\dfrac{S^2}{D^2}} =\frac{S^3}{D\big(D^2+S^2\big)}.
Multiplicando por a'(x)=\dfrac{\cos x\,D-\sin x\,(7x^{6}+2x)}{D^{2}} obtemos, após juntar fatores,
f(a(x))\,a'(x)=\frac{S^3\big(\cos x\,D-\sin x\,(7x^{6}+2x)\big)}{D^{3}\big(D^{2}+S^{2}\big)}.
Substituindo S=\sin x e D=x^{7}+x^{2}-1 e juntando tudo, temos a expressão completa de g'(x).

Passo 6

Escrevo a expressão final organizada, combinando os dois termos (limite superior e limite inferior). Não há cancelamento óbvio a fazer sem deixar a expressão ainda mais extensa, então apresento-a na forma simplificada já mostrada:
g'(x)=-6x\cos(3x^{2})\sin\big(\sin(3x^{2})\big)\,\frac{\cos^{3}\big(\sin(3x^{2})\big)}{1+\cos^{2}\big(\sin(3x^{2})\big)} -\frac{\sin^{3}x\big(\cos x\,(x^{7}+x^{2}-1)-\sin x\,(7x^{6}+2x)\big)}{(x^{7}+x^{2}-1)^{3}\big((x^{7}+x^{2}-1)^{2}+\sin^{2}x\big)}.

Resposta

g'(x)=-6x\cos(3x^{2})\sin\big(\sin(3x^{2})\big)\,\frac{\cos^{3}\big(\sin(3x^{2})\big)}{1+\cos^{2}\big(\sin(3x^{2})\big)} -\frac{\sin^{3}x\big(\cos x\,(x^{7}+x^{2}-1)-\sin x\,(7x^{6}+2x)\big)}{(x^{7}+x^{2}-1)^{3}\big((x^{7}+x^{2}-1)^{2}+\sin^{2}x\big)}.

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