Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções: g(x)=\int_{\frac{\sin (x)}{x^{7}+x^{2}-1}}^{\cos \left(\sin \left(3 x^{2}\right)\right)} \frac{u^{3}}{1+u^{2}} d u
Passo 1
O que o exercício pede: encontrar a derivada de g(x), onde
A função integranda é f(u)=\dfrac{u^{3}}{1+u^{2}}.
O limite inferior é a(x)=\dfrac{\sin x}{x^{7}+x^{2}-1}.
O limite superior é b(x)=\cos(\sin(3x^{2})).
A tarefa é calcular g'(x).
Passo 2
Ferramenta principal (explicada de forma direta): se temos \displaystyle G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(u)\,du, então — usando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia — a derivada é
O raciocínio: a variação do integral quando x muda vem da variação do limite superior (contribuição f(b(x))b'(x)) e da variação do limite inferior (contribuição negativa -f(a(x))a'(x)). Exemplo rápido e simples para fixar: se H(x)=\int_{0}^{x^2} t^2\,dt, então H'(x)=t^2\big|_{t=x^2}\cdot 2x=(x^2)^2\cdot 2x=2x^5. Aqui usamos exatamente a mesma ideia.
Passo 3
Derivada do limite superior b(x)=\cos(\sin(3x^{2})).
Vamos aplicar a regra da cadeia em dois níveis: primeiro \cos(v) com v=\sin(3x^2); depois \sin(w) com w=3x^2.
Derivada de \cos(v) em relação a v é -\sin(v).
Derivada de v=\sin(3x^2) em relação a x é \cos(3x^2)\cdot (6x) (pois \dfrac{d}{dx}3x^2=6x).
Portanto,
com f(u)=\dfrac{u^{3}}{1+u^{2}}.
Primeiro termo (limite superior): f(b(x))=\dfrac{\cos^{3}\big(\sin(3x^{2})\big)}{1+\cos^{2}\big(\sin(3x^{2})\big)} e multiplicamos por b'(x)=-6x\cos(3x^2)\sin(\sin(3x^2)).
Segundo termo (limite inferior): é conveniente simplificar f(a(x)) antes de multiplicar por a'(x). Com S=\sin x e D=x^{7}+x^{2}-1,
Substituindo S=\sin x e D=x^{7}+x^{2}-1 e juntando tudo, temos a expressão completa de g'(x).
Passo 6
Escrevo a expressão final organizada, combinando os dois termos (limite superior e limite inferior). Não há cancelamento óbvio a fazer sem deixar a expressão ainda mais extensa, então apresento-a na forma simplificada já mostrada: