Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
Prove que
é múltiplo de 4 , para todo
.
Prove que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para provar que
é múltiplo de para todo . - Informação dada: a expressão
definida para natural.
As perguntas implícitas: (1) verificar um caso inicial; (2) mostrar que, se a propriedade vale para um natural, então vale para . Essas duas partes juntas, pela indução, provarão a afirmação para todo .
Passo 2
Explicação do método (princípio da indução) de forma clara e simples:
- A indução matemática prova uma propriedade
para todos os em duas etapas: - Base: mostrar que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, provar que também é verdadeira.
Se as duas etapas são cumpridas, conclui-se quevale para todo . Aqui é a afirmação “ é múltiplo de ”.
- Base: mostrar que
Passo 3
Base da indução (
): verificar
.
Calcule:
Calcule:
Como
,
é múltiplo de
. Logo,
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para algum
a propriedade seja verdadeira, isto é, suponha que exista um inteiro
tal que
Aqui explico: dizer “
é múltiplo de
” significa exatamente que se pode escrever
como
vezes algum inteiro
.
Passo 5
Mostrando
a partir da hipótese: calcular
e preservar fatores de
.
Começamos escrevendo
Começamos escrevendo
Agora fazemos uma pequena manipulação algébrica para usar a hipótese:
Pela hipótese de indução temos
. Substituindo:
Como
é um inteiro (produto e soma de inteiros), escrevemos
. Portanto
é múltiplo de
.
Conclusão do passo indutivo: mostramos que, assumindo é múltiplo de
, então
também é múltiplo de
. Assim, o passo indutivo está estabelecido.
Conclusão do passo indutivo: mostramos que, assumindo
Passo 6
Conclusão final pela indução: como
é verdadeira (Passo 3) e o passo indutivo foi provado (Passos 4–6), pelo princípio da indução a propriedade vale para todo
. Parabéns — prova concluída!
Passo 7
Breve observação extra (modo rápido, não pedido): em aritmética modular nota-se que
, então
, logo
. Isso dá a mesma conclusão de forma curta.
Resposta
Para todo
,
é múltiplo de
.