Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
Prove que 5^{n}-1 é múltiplo de 4 , para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para provar que 5^{n}-1 é múltiplo de 4 para todo n\in\mathbb{N}.
  • Informação dada: a expressão 5^{n}-1 definida para n natural.
    As perguntas implícitas: (1) verificar um caso inicial; (2) mostrar que, se a propriedade vale para um natural k, então vale para k+1. Essas duas partes juntas, pela indução, provarão a afirmação para todo n.

Passo 2

Explicação do método (princípio da indução) de forma clara e simples:
  • A indução matemática prova uma propriedade P(n) para todos os n\ge1 em duas etapas:
    1. Base: mostrar que P(1) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assumir que P(k) é verdadeira para um k arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, provar que P(k+1) também é verdadeira.
      Se as duas etapas são cumpridas, conclui-se que P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}. Aqui P(n) é a afirmação “ 5^{n}-1 é múltiplo de 4”.

Passo 3

Base da indução ( n=1): verificar P(1).
Calcule:
5^{1}-1=5-1=4.
Como 4=4\cdot1, 5^{1}-1 é múltiplo de 4. Logo, P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para algum k\in\mathbb{N} a propriedade seja verdadeira, isto é, suponha que exista um inteiro m tal que
5^{k}-1=4m.
Aqui explico: dizer “ 5^{k}-1 é múltiplo de 4” significa exatamente que se pode escrever 5^{k}-1 como 4 vezes algum inteiro m.

Passo 5

Mostrando P(k+1) a partir da hipótese: calcular 5^{k+1}-1 e preservar fatores de 4.
Começamos escrevendo
5^{k+1}-1=5\cdot 5^{k}-1.
Agora fazemos uma pequena manipulação algébrica para usar a hipótese:
5\cdot 5^{k}-1=5\cdot 5^{k}-5+4=5\bigl(5^{k}-1\bigr)+4.
Pela hipótese de indução temos 5^{k}-1=4m. Substituindo:
5\bigl(5^{k}-1\bigr)+4=5\cdot(4m)+4=20m+4=4(5m+1).
Como 5m+1 é um inteiro (produto e soma de inteiros), escrevemos 5^{k+1}-1=4\cdot(5m+1). Portanto 5^{k+1}-1 é múltiplo de 4.
Conclusão do passo indutivo: mostramos que, assumindo 5^{k}-1 é múltiplo de 4, então 5^{k+1}-1 também é múltiplo de 4. Assim, o passo indutivo está estabelecido.

Passo 6

Conclusão final pela indução: como P(1) é verdadeira (Passo 3) e o passo indutivo foi provado (Passos 4–6), pelo princípio da indução a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}. Parabéns — prova concluída!

Passo 7

Breve observação extra (modo rápido, não pedido): em aritmética modular nota-se que 5\equiv1\pmod{4}, então 5^{n}\equiv1^{n}\equiv1\pmod{4}, logo 5^{n}-1\equiv0\pmod{4}. Isso dá a mesma conclusão de forma curta.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 5^{n}-1 é múltiplo de 4.

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