Dados vetores
e constantes
, mostre que:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá vetores
e constantes
. A parte (e) pede para mostrar a identidade
Aqui é importante notar que
e
indicam o quadrado da norma dos vetores, isto é,
e
.
Passo 2
Relembrando a definição e notação (passo didático): para
e
em
, o produto escalar é
A norma ao quadrado é definida por
No enunciado usa-se a abreviação
para
. Vou manter essa convenção:
,
.
Passo 3
Principais propriedades do produto escalar que vamos usar (explicação curta do porquê: decorrem da definição coordenada):
- Distributividade em cada argumento:
- Comutatividade:
- Multiplicação por escalar:
Passo 4
Agora aplicamos a distributividade para expandir
. Primeiro trate a soma e subtração como combinações lineares e expanda:
Usando distributividade em cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 5
Use a comutatividade do produto escalar,
. Assim os termos mistos se cancelam:
Portanto resta
Pelo que estabelecemos na notação, isto é exatamente
Passo 6
Cheque rápido com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): seja
e
. Então
O produto escalar dá
E as normas ao quadrado:
logo
confirmação numérica de que a identidade vale.
Passo 7
Conclusão: usando apenas distributividade e comutatividade do produto escalar chegamos à igualdade desejada. Manteve-se tudo passo a passo para você reproduzir na prova sem surpresas — é só expandir e cancelar os termos mistos.