Dados vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} e constantes a, b \in \mathbb{R}, mostre que:
(e) (\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=u^{2}-v^{2}

Passo 1

O enunciado dá vetores \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} e constantes a, b \in \mathbb{R}. A parte (e) pede para mostrar a identidade
(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=u^{2}-v^{2}.
Aqui é importante notar que u^{2} e v^{2} indicam o quadrado da norma dos vetores, isto é, u^{2}=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u} e v^{2}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.

Passo 2

Relembrando a definição e notação (passo didático): para \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) em \mathbb{R}^{3}, o produto escalar é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
A norma ao quadrado é definida por
\|\mathbf{a}\|^{2}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}.
No enunciado usa-se a abreviação a^{2} para \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}. Vou manter essa convenção: u^{2}=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}, v^{2}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.

Passo 3

Principais propriedades do produto escalar que vamos usar (explicação curta do porquê: decorrem da definição coordenada):
  • Distributividade em cada argumento:
(\mathbf{p}+\mathbf{q})\cdot\mathbf{r}=\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}+\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}, \qquad \mathbf{p}\cdot(\mathbf{q}+\mathbf{r})=\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}+\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}.
  • Comutatividade:
\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=\mathbf{q}\cdot\mathbf{p}.
  • Multiplicação por escalar:
(\lambda\mathbf{p})\cdot\mathbf{q}=\lambda(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}).

Passo 4

Agora aplicamos a distributividade para expandir (\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}). Primeiro trate a soma e subtração como combinações lineares e expanda:
(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) - \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}).
Usando distributividade em cada termo:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v},
\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.
Substituindo de volta:
(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \big(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\big) - \big(\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\big).

Passo 5

Use a comutatividade do produto escalar, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}. Assim os termos mistos se cancelam:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}=0.
Portanto resta
(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} - \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}.
Pelo que estabelecemos na notação, isto é exatamente
u^{2}-v^{2}.

Passo 6

Cheque rápido com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): seja \mathbf{u}=(1,2,0) e \mathbf{v}=(3,1,4). Então
\mathbf{u}-\mathbf{v}=(-2,1,-4),\qquad \mathbf{u}+\mathbf{v}=(4,3,4).
O produto escalar dá
(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = (-2)\cdot 4 + 1\cdot 3 + (-4)\cdot 4 = -8+3-16=-21.
E as normas ao quadrado:
u^{2}=1^{2}+2^{2}+0^{2}=5,\qquad v^{2}=3^{2}+1^{2}+4^{2}=26,
logo
u^{2}-v^{2}=5-26=-21,
confirmação numérica de que a identidade vale.

Passo 7

Conclusão: usando apenas distributividade e comutatividade do produto escalar chegamos à igualdade desejada. Manteve-se tudo passo a passo para você reproduzir na prova sem surpresas — é só expandir e cancelar os termos mistos.

Resposta

(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=u^{2}-v^{2}

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