use a propriedade distributiva para escrever a forma fatorada ou a forma expandida da expressão dada.
a\left(x^{2}+b\right)

Passo 1

O enunciado dá a expressão \;a\left(x^{2}+b\right)\; e pede para usar a propriedade distributiva para escrever a forma fatorada ou a forma expandida.
Informações dadas:
  • A expressão atual é \;a\left(x^{2}+b\right)\;.
  • O objetivo é obter a forma expandida (ou, alternativamente, reconhecer a forma fatorada).

Passo 2

O que é a propriedade distributiva (em palavras simples): quando um número ou expressão multiplica uma soma dentro de parênteses, você pode multiplicar esse número por cada parcela da soma e então somar os resultados. A forma geral é
k(u+v)=ku+kv.
Aqui:
  • \;k\; é o fator que multiplica o parênteses (pode ser número ou expressão);
  • \;u\; e \;v\; são as parcelas somadas dentro do parênteses.
    Exemplo numérico para ver que isso bate: \;2(3+4)=2\cdot3+2\cdot4\;. No lado esquerdo \;2(7)=14\; e no direito \;6+8=14\;.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: compare \;a\left(x^{2}+b\right)\; com a forma k(u+v). Aqui \;k=a, \;u=x^{2} e \;v=b. Então multiplica-se a por cada parcela:
  • a multiplicado por \;x^{2} dá o termo \;ax^{2};\
  • a multiplicado por \;b dá o termo \;ab.\
    Somando esses termos obtemos a forma expandida.

Passo 4

Interpretação dos termos obtidos:
  • \;ax^{2}\; significa que o coeficiente do termo x^{2} é \;a;\
  • \;ab\; é o termo independente (constante em relação a x) formado pelo produto de a por b.
    Esse processo não usa nada além de multiplicação e adição elementares, então é adequado para fazer à mão durante uma prova.

Passo 5

Fazendo o processo inverso (fatoração): se começar por \;ax^{2}+ab\;, verificamos que ambos os termos têm o fator comum \;a. Ao tirar \;a em evidência (fator comum) e aplicar a distributiva inversa, escrevemos
ax^{2}+ab = a(x^{2}+b),
recuperando a forma fatorada original. Sempre que os dois termos tiverem um fator comum, essa é a técnica para fatorar.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova:
  • Para expandir, multiplique o fator fora do parênteses por cada parcela dentro.
  • Para checar, refaça a distributiva: se você fatorou, multiplique de volta para ver se volta à expressão inicial.
  • Se a=0, tanto a forma expandida quanto a fatorada ficam facilmente verificáveis (tudo vira zero), então não há armadilha aí.

Resposta

Forma expandida: ax^{2}+ab
Forma fatorada: a(x^{2}+b)

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