Use a propriedade da função inversa para mostrar que f e g são inversas uma da outra.
f(x)=x^{3}+1 ; g(x)=(x-1)^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x)=x^{3}+1
e
g(x)=(x-1)^{1/3}
são inversas uma da outra. O critério para isso é verificar as composições f(g(x)) e g(f(x)): se ambas derem x, então f e g são inversas.

Passo 2

Vamos calcular
f(g(x)) \;.
Substituindo g(x) em f, temos
f(g(x)) = \bigl(g(x)\bigr)^{3} + 1 = \bigl((x-1)^{1/3}\bigr)^{3} + 1 = (x-1) + 1 = x.

Passo 3

Agora calculamos
g(f(x)) \;.
Substituindo f(x) em g, obtemos
g(f(x)) = \bigl(f(x)-1\bigr)^{1/3} = \bigl((x^{3}+1)-1\bigr)^{1/3} = (x^{3})^{1/3} = x.

Passo 4

Como f(g(x))=x e g(f(x))=x para todo x do domínio considerado, concluímos que f e g são funções inversas uma da outra.

Resposta

f e g são inversas.

Exercícios relacionados