Use a propriedade da potência para simplificar:
\log _{9}\left(9^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \log_{9}\left(9^{2}\right).
Informações dadas: a base do logaritmo é 9 e o argumento é 9^{2}. O objetivo é encontrar um número simples que seja igual a esse logaritmo.

Passo 2

Vamos lembrar a definição fundamental de logaritmo e o que cada símbolo significa. Para números a e b com a>0, a\neq 1 e b>0, definimos
\log_{a}(b)=c \iff a^{c}=b.
Aqui: a é a base do logaritmo, b é o argumento (o número cujo logaritmo queremos) e c é o valor do logaritmo. Em palavras: \log_{a}(b) responde “a que potência devo elevar a para obter b?”.
Exemplo rápido e intuitivo: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Uma propriedade direta que nos ajuda muito em provas é a seguinte: para qualquer base válida a e expoente k,
\log_{a}\bigl(a^{k}\bigr)=k.
Prova curta dessa propriedade: defina x=\log_{a}\bigl(a^{k}\bigr). Pela definição de logaritmo, isso significa a^{x}=a^{k}. Como a função exponencial com base a>0, a\neq 1, é injetora (potências iguais implicam expoentes iguais), concluímos x=k. Ou seja, o logaritmo “cancela” a potência quando a base coincide.

Passo 4

Aplicando a propriedade diretamente ao nosso caso: a base do logaritmo é 9 e o argumento é exatamente 9^{2}. Logo,
\log_{9}\left(9^{2}\right)=2.
Isso é imediato pela propriedade anterior: estamos perguntando “a que potência elevar 9 para obter 9^{2}?”, e a resposta é claramente 2.

Passo 5

Dica rápida para a prova: sempre verifique as condições da base do logaritmo (base positiva e diferente de 1). No caso de \log_{9}\left(9^{2}\right), a base é 9>0 e 9\neq 1, então a propriedade é válida. Outra forma alternativa (mais longa) seria escrever 9=3^{2} e manipular potências, mas isso não é necessário aqui — a propriedade direta é suficiente e mais rápida.

Resposta

2

Exercícios relacionados