Use a propriedade da potência para simplificar:
\log _{7}\left(7^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \log_{7}\left(7^{4}\right).
Informações dadas: a base do logaritmo é \,7 e o argumento é \,7^{4}.
Pergunta clara: qual é o valor simplificado de \log_{7}\left(7^{4}\right)?

Passo 2

Vamos revisar o que é logaritmo, passo a passo, sem pressa. A definição fundamental é:
\log_{b} a = c \iff b^{c} = a
Isto significa que \log_{b} a responde à pergunta “a que expoente devemos elevar a base \,b para obter \,a?”
  • Aqui \,b é a base do logaritmo (deve ser positiva e diferente de 1).
  • \,a é o argumento (o número cujo logaritmo queremos).
  • \,c é o resultado: o expoente tal que b^{c}=a.

Passo 3

Aplique a definição ao nosso caso. Seja
x=\log_{7}\left(7^{4}\right).
Pela definição de logaritmo, isso é equivalente a
7^{x}=7^{4}.

Passo 4

Agora uma observação simples e importante: se duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1, então os expoentes devem ser iguais. Ou seja, se b^{u}=b^{v} e b>0, b\neq1, então u=v. Aqui a base é 7 (que satisfaz as condições), logo dos dois lados temos base igual e obtemos
x=4.

Passo 5

Concluímos que
\log_{7}\left(7^{4}\right)=4.
Essa é uma instância da propriedade geral
\log_{b}\left(b^{k}\right)=k,
válida para qualquer base b>0, b\neq1, e qualquer número real k.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (apenas para praticar o raciocínio):
\log_{2}\left(2^{5}\right)=5 porque 2^{x}=2^{5}\Rightarrow x=5.
\log_{10}\left(10^{-3}\right)=-3 porque 10^{x}=10^{-3}\Rightarrow x=-3.

Resposta

\,4

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