Use qualquer linha ou coluna para calcular os determinantes (Regra de Laplace).
\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\\\ -1 & 0 & -2 \\\\ 2 & 5 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\\\ -1 & 0 & -2 \\\\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}
usando a regra de Laplace, que consiste em expandir o determinante em cofatores de uma linha ou coluna.

Passo 2

Para simplificar o cálculo, vamos expandir pela segunda linha, pois nela há um elemento nulo. A regra de Laplace na linha i diz:
\det(A) \;=\; \sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,C_{ij},
onde
C_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}
e M_{ij} é o menor da posição (i,j). Assim, para i=2:
\det(A) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}.

Passo 3

Como a_{22}=0, o termo correspondente se anula e precisamos só de C_{21} e C_{23}.
Para j=1:
C_{21} = (-1)^{2+1}\,\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ 5 & 1\end{pmatrix} = -1\bigl(3\cdot1 - 2\cdot5\bigr) = -1\bigl(3 - 10\bigr) = 7.
Para j=3:
C_{23} = (-1)^{2+3}\,\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{pmatrix} = -1\bigl(1\cdot5 - 3\cdot2\bigr) = -1\bigl(5 - 6\bigr) = 1.

Passo 4

Substituindo em \det(A) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}, temos
\det(A) = (-1)\cdot7 + 0\cdot C_{22} + (-2)\cdot1 = -7 -2 = -9.

Resposta

-9

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