Use qualquer linha ou coluna para calcular os determinantes (Regra de Laplace).
\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 0 \\\\ 1 & -2 & -1 \\\\ 2 & 0 & -1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}
usando a Regra de Laplace (expansão por co-fatores). Vamos precisar escolher uma linha ou coluna, montar os menores M_{ij} e aplicar o sinal (-1)^{i+j}.

Passo 2

Escolhemos a primeira linha para a expansão, pois ela contém um zero. A fórmula geral é
\det(A) = \sum_{j=1}^{3} a_{1j}(-1)^{1+j}\det(M_{1j}).
Aqui a_{11}=2, a_{12}=3, a_{13}=0. Logo
\det(A) = 2\cdot(-1)^{2}\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} +3\cdot(-1)^{3}\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} +0\cdot(-1)^{4}\det(\cdots).
Como (-1)^2=+1 e (-1)^3=-1, isso fica
\det(A) = 2\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos os dois menores:
\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} =(-2)\cdot(-1)-(-1)\cdot0=2,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-(-1)\cdot2=-1+2=1.

Passo 4

Substituindo esses valores na expansão,
\det(A) =2\cdot2-3\cdot1=4-3=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados