Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(17 x-5)^{1000}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=(17 x-5)^{1000} e pede a derivada f'(x).
Informações relevantes: o expoente é \,1000, a expressão dentro do parênteses é a função linear \,17x-5.
Pergunta: calcular \,f'(x).

Passo 2

Idea central (regra da cadeia, explicação): quando uma função é composição de duas, ou seja \,f(x)=g(u(x)), a derivada é dada por
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Isto significa: derivo a função “externa” g em relação à sua variável u, avalio essa derivada em u(x), e multiplico pela derivada da função “interna” u(x). Intuitivamente, é porque a variação de f quando x muda depende de como u muda com x e de como g muda com u.

Passo 3

Identificação das partes (substituição para aplicar a regra da cadeia): defino a função interna
u(x)=17x-5,
e a função externa
g(u)=u^{1000}.
Assim f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 4

Derivada da função externa (regra do poder): para a função \,g(u)=u^{n} com n inteiro, a derivada em relação a u é
g'(u)=n\,u^{n-1}.
Aqui n=1000, logo
g'(u)=1000\,u^{999}.
Explicação do porquê (breve): a regra do poder vem de considerar a definição do limite da derivada ou do resultado padrão que ao diminuir o expoente em 1 multiplica pelo expoente original.

Passo 5

Derivada da função interna (linear): para u(x)=17x-5 a derivada é
u'(x)=17.
Porque a derivada de ax+b é a; o termo constante desaparece.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia: substituo u(x)=17x-5, g'(u)=1000u^{999} e multiplico por u'(x). Assim
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=1000\bigl(17x-5\bigr)^{999}\cdot 17.

Passo 7

Simplificação final: multiplico os fatores constantes 1000 e 17:
1000\cdot 17 = 17000.
Portanto a forma simplificada da derivada é
f'(x)=17000\bigl(17x-5\bigr)^{999}.

Passo 8

Cheque rápido (pra você ganhar confiança): por exemplo em x=1,
f(1)=(17\cdot1-5)^{1000}=12^{1000},
e pelo resultado
f'(1)=17000\cdot 12^{999}.
Você pode ver que f'(1)=\dfrac{17000}{12}\,f(1), o que é coerente com a regra da cadeia (a derivada escala f(1) por um fator que envolve a derivada interna).

Resposta

\displaystyle f'(x)=17000\bigl(17x-5\bigr)^{999}

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