Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes: o expoente é , a expressão dentro do parênteses é a função linear
.
Pergunta: calcular .
Informações relevantes: o expoente é
Pergunta: calcular
Passo 2
Idea central (regra da cadeia, explicação): quando uma função é composição de duas, ou seja
, a derivada é dada por
Isto significa: derivo a função “externa”
em relação à sua variável
, avalio essa derivada em
, e multiplico pela derivada da função “interna”
. Intuitivamente, é porque a variação de
quando
muda depende de como
muda com
e de como
muda com
.
Passo 3
Identificação das partes (substituição para aplicar a regra da cadeia): defino a função interna
e a função externa
Assim
.
Passo 4
Derivada da função externa (regra do poder): para a função
com
inteiro, a derivada em relação a
é
Aqui
, logo
Explicação do porquê (breve): a regra do poder vem de considerar a definição do limite da derivada ou do resultado padrão que ao diminuir o expoente em 1 multiplica pelo expoente original.
Passo 5
Derivada da função interna (linear): para
a derivada é
Porque a derivada de
é
; o termo constante desaparece.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia: substituo
,
e multiplico por
. Assim
Passo 7
Simplificação final: multiplico os fatores constantes
e
:
Portanto a forma simplificada da derivada é
Passo 8
Cheque rápido (pra você ganhar confiança): por exemplo em
,
e pelo resultado
Você pode ver que
, o que é coerente com a regra da cadeia (a derivada escala
por um fator que envolve a derivada interna).