Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\cos ^{5} 3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f dada por
f(x)=\cos^{5}3x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma composição: há uma potência aplicada a um cosseno que, por sua vez, recebe 3x como argumento.
  • O objetivo explícito é calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.
  • Interpretarei \cos^{5}3x como (\cos(3x))^{5} (ou seja, elevamos o cosseno de 3x à quinta potência).

Passo 2

Reescrevendo para ficar claro o aninhamento das funções:
f(x) = (\cos(3x))^{5}.
Uma estratégia padrão para funções assim é fazer uma substituição intermediária para “desempilhar” as composições. Definimos uma função intermediária u por
u = \cos(3x).
Então f fica simplesmente f = u^{5}. Explicando: agora vejo f como função de u e u como função de x, o que facilita a diferenciação por partes.

Passo 3

Diferenciando a parte externa: considere a função g(u)=u^{5}. A regra do poder (power rule) diz que a derivada de u^{n} em relação a u é n u^{n-1}. Aplicando aqui:
\frac{dg}{du} = 5u^{4}.
Explicação didática da regra do poder: se g(u)=u^{n}, então aumentamos o coeficiente para n e subtraímos 1 do expoente; por exemplo, a derivada de t^{3} é 3t^{2}.

Passo 4

Agora diferenciamos a parte interna u=\cos(3x) em relação a x. Essa é outra composição: u=\cos(v) com v=3x. Primeiro lembramos que a derivada da função trigonométrica \cos(v) em relação a v é
\frac{d}{dv}\cos(v) = -\sin(v).
E a derivada de v=3x em relação a x é
\frac{dv}{dx} = 3.
Multiplicando (pois estamos diferenciando \cos(3x) que é \cos(v(x))) obtemos:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dv}\cos(v)\bigg|_{v=3x}\cdot\frac{dv}{dx} = (-\sin(3x))\cdot 3 = -3\sin(3x).
Explicação: primeiro aplicamos a derivada do cosseno (que nos dá -\sin do argumento) e depois multiplicamos pela derivada do argumento 3x, que é 3.

Passo 5

Agora combinamos as duas derivadas usando a regra que diz que, se f(x)=g(u(x)), então
\frac{df}{dx} = \frac{dg}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo \frac{dg}{du}=5u^{4} e \frac{du}{dx}=-3\sin(3x), e lembrando que u=\cos(3x), temos
\frac{df}{dx} = 5(\cos(3x))^{4}\cdot(-3\sin(3x)).
Multiplicando as constantes 5 e -3 e arrumando sinais, obtemos a forma simplificada:
\frac{df}{dx} = -15(\cos(3x))^{4}\sin(3x).
Dica prática: é comum escrever \cos^{4}(3x) em vez de (\cos(3x))^{4}; ambas significam o mesmo. Assim outra forma equivalente é
f'(x) = -15\cos^{4}(3x)\sin(3x).

Passo 6

Checagem rápida (exemplo numérico) para ganhar confiança: se x=0, então \cos(3\cdot 0)=1 e \sin(3\cdot 0)=0, logo
f'(0) = -15\cdot 1^{4}\cdot 0 = 0,
o que faz sentido — é só um teste simples para ver se a expressão não é absurda. Você pode testar outros valores se quiser.

Resposta

-15\cos^{4}(3x)\sin(3x)

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