Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções: f(x)=\cos ^{5} 3 x
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função f dada por
f(x)=\cos^{5}3x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A função é uma composição: há uma potência aplicada a um cosseno que, por sua vez, recebe 3x como argumento.
O objetivo explícito é calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.
Interpretarei \cos^{5}3x como (\cos(3x))^{5} (ou seja, elevamos o cosseno de 3x à quinta potência).
Passo 2
Reescrevendo para ficar claro o aninhamento das funções:
f(x) = (\cos(3x))^{5}.
Uma estratégia padrão para funções assim é fazer uma substituição intermediária para “desempilhar” as composições. Definimos uma função intermediária u por
u = \cos(3x).
Então f fica simplesmente f = u^{5}. Explicando: agora vejo f como função de u e u como função de x, o que facilita a diferenciação por partes.
Passo 3
Diferenciando a parte externa: considere a função g(u)=u^{5}. A regra do poder (power rule) diz que a derivada de u^{n} em relação a u é n u^{n-1}. Aplicando aqui:
\frac{dg}{du} = 5u^{4}.
Explicação didática da regra do poder: se g(u)=u^{n}, então aumentamos o coeficiente para n e subtraímos 1 do expoente; por exemplo, a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
Passo 4
Agora diferenciamos a parte interna u=\cos(3x) em relação a x. Essa é outra composição: u=\cos(v) com v=3x. Primeiro lembramos que a derivada da função trigonométrica \cos(v) em relação a v é
\frac{d}{dv}\cos(v) = -\sin(v).
E a derivada de v=3x em relação a x é
\frac{dv}{dx} = 3.
Multiplicando (pois estamos diferenciando \cos(3x) que é \cos(v(x))) obtemos: