Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(1)
(1)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a função
. - Pede a derivada
usando a regra da cadeia (ou seja, calcular a derivada de em relação a ).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A função é produto de duas funções de
: uma parte polinomial e uma parte trigonométrica .
Passo 2
Regra do produto (lembrando do que é preciso aplicar aqui):
- Se
, então a derivada é dada por
Explicando:
é a taxa de variação de
e
é a taxa de variação de
; a fórmula combina as duas porque
depende de ambas. Vou aplicar isso com
e
(aqui uso o símbolo padrão
para seno).
Passo 3
Identificação das partes do produto:
Precisamos de
e
.
Passo 4
Derivada de
:
-
é um polinômio; a regra básica diz que .
Passo 5
Derivada de
usando a regra da cadeia:
- A regra da cadeia diz que, se
, então
Aqui
. Calculando:
Portanto
(Comentário curto: a regra da cadeia é só isso — derivar a função externa
avaliando em
e multiplicar pela derivada da função interna
.)
Passo 6
Aplicando a regra do produto com os resultados:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Forma alternativa (opcional) usando identidades trigonométricas:
- Lembrando que
e , podemos reescrever
Também se pode fatorar
ou
conforme desejar: