Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(1) y(x)=\left(x^{2}+1\right) \cdot \operatorname{sen}(-2 x)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a função y(x)=\left(x^{2}+1\right)\cdot \operatorname{sen}(-2x).
  • Pede a derivada y'(x) usando a regra da cadeia (ou seja, calcular a derivada de y em relação a x).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A função é produto de duas funções de x: uma parte polinomial x^{2}+1 e uma parte trigonométrica \operatorname{sen}(-2x).

Passo 2

Regra do produto (lembrando do que é preciso aplicar aqui):
  • Se y(x)=f(x)\cdot g(x), então a derivada é dada por
y'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Explicando: f'(x) é a taxa de variação de f e g'(x) é a taxa de variação de g; a fórmula combina as duas porque y depende de ambas. Vou aplicar isso com f(x)=x^{2}+1 e g(x)=\sin(-2x) (aqui uso o símbolo padrão \sin para seno).

Passo 3

Identificação das partes do produto:
f(x)=x^{2}+1,\qquad g(x)=\sin(-2x).
Precisamos de f'(x) e g'(x).

Passo 4

Derivada de f(x):
  • f(x)=x^{2}+1 é um polinômio; a regra básica diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x+0=2x.

Passo 5

Derivada de g(x)=\sin(-2x) usando a regra da cadeia:
  • A regra da cadeia diz que, se g(x)=\sin(u(x)), então
g'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aqui u(x)=-2x. Calculando:
u'(x)=\frac{d}{dx}(-2x)=-2.
Portanto
g'(x)=\cos(-2x)\cdot(-2)=-2\cos(-2x).
(Comentário curto: a regra da cadeia é só isso — derivar a função externa \sin avaliando em u(x) e multiplicar pela derivada da função interna u(x).)

Passo 6

Aplicando a regra do produto com os resultados:
y'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Substituindo f',f,g,g':
y'(x)=\bigl(2x\bigr)\sin(-2x)+\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(-2\cos(-2x)\bigr).
Simplificando:
y'(x)=2x\sin(-2x)-2\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos(-2x).

Passo 7

Forma alternativa (opcional) usando identidades trigonométricas:
  • Lembrando que \sin(-\theta)=-\sin(\theta) e \cos(-\theta)=\cos(\theta), podemos reescrever
y'(x)=-2x\sin(2x)-2\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos(2x).
Também se pode fatorar -2 ou 2 conforme desejar:
y'(x)=2\Bigl(x\sin(-2x)-\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos(-2x)\Bigr) \quad\text{ou}\quad y'(x)=-2\Bigl(x\sin(2x)+\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos(2x)\Bigr).

Resposta

y'(x)=2x\sin(-2x)-2\bigl(x^{2}+1\bigr)\cos(-2x)

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