Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(m) z(x)=\frac{\cos \left(-x^{3}\right)}{x+1}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a função z(x)=\dfrac{\cos\left(-x^{3}\right)}{x+1}.
  • Pergunta: calcular a derivada z'(x).
  • Informação útil: x\neq -1 (denominador não pode ser zero).
  • Observação simples que pode ser usada: a função cosseno é par, isto é, \cos(-t)=\cos(t) para todo t.

Passo 2

Primeira simplificação útil antes de derivar:
  • Usando que \cos(-t)=\cos(t), temos
z(x)=\frac{\cos\left(-x^{3}\right)}{x+1}=\frac{\cos\left(x^{3}\right)}{x+1}.
Isso facilita porque elimina o sinal negativo dentro do cosseno e torna as contas mais limpas.

Passo 3

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • Vou usar a regra do quociente porque z(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=\cos(x^3) e v(x)=x+1.
  • Regra do quociente: se z=\dfrac{u}{v} então
z'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u' e v' são as derivadas de u e v.
  • Para obter u' vamos usar a regra da cadeia: se u(x)=f(g(x)) então u'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Especificamente, para f(t)=\cos t vale f'(t)=-\sin t. Para g(x)=x^{3} vale g'(x)=3x^{2}.
  • Portanto ao aplicar a regra da cadeia em u(x)=\cos(x^{3}) teremos u'(x)=-\sin(x^{3})\cdot 3x^{2}.

Passo 4

Calcular u'(x) passo a passo:
  • Definir u(x)=\cos(x^{3}).
  • Aplicar regra da cadeia:
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos\bigl(x^{3}\bigr)=\bigl(-\sin(x^{3})\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr).
  • Como \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, obtemos
u'(x)=-3x^{2}\sin(x^{3}).

Passo 5

Calcular v'(x):
  • Definir v(x)=x+1.
  • Derivada de x+1 é
v'(x)=1.

Passo 6

Aplicar a regra do quociente e substituir as derivadas encontradas:
  • Usando u(x)=\cos(x^{3}), u'(x)=-3x^{2}\sin(x^{3}), v(x)=x+1, v'(x)=1, temos
z'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}} =\frac{\bigl(-3x^{2}\sin(x^{3})\bigr)(x+1)-\cos(x^{3})\cdot 1}{(x+1)^{2}}.

Passo 7

Simplificar o numerador para uma forma clara:
  • O numerador é
-3x^{2}(x+1)\sin(x^{3})-\cos(x^{3}).
  • Podemos escrever a derivada final como
z'(x)=\frac{-3x^{2}(x+1)\sin(x^{3})-\cos(x^{3})}{(x+1)^{2}}.
  • Ou, extraindo um sinal negativo:
z'(x)=-\frac{3x^{2}(x+1)\sin(x^{3})+\cos(x^{3})}{(x+1)^{2}}.

Resposta

z'(x)=\frac{-3x^{2}(x+1)\sin(x^{3})-\cos(x^{3})}{(x+1)^{2}},\qquad x\neq -1

Exercícios relacionados