Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(m)
(m)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a função
. - Pergunta: calcular a derivada
. - Informação útil:
(denominador não pode ser zero). - Observação simples que pode ser usada: a função cosseno é par, isto é,
para todo .
Passo 2
Primeira simplificação útil antes de derivar:
- Usando que
, temos
Isso facilita porque elimina o sinal negativo dentro do cosseno e torna as contas mais limpas.
Passo 3
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadas):
- Vou usar a regra do quociente porque
com e . - Regra do quociente: se
então
Aqui
e
são as derivadas de
e
.
- Para obter
vamos usar a regra da cadeia: se então . - Especificamente, para
vale . Para vale . - Portanto ao aplicar a regra da cadeia em
teremos .
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Definir
. - Aplicar regra da cadeia:
- Como
, obtemos
Passo 5
Calcular
:
- Definir
. - Derivada de
é
Passo 6
Aplicar a regra do quociente e substituir as derivadas encontradas:
- Usando
, , , , temos
Passo 7
Simplificar o numerador para uma forma clara:
- O numerador é
- Podemos escrever a derivada final como
- Ou, extraindo um sinal negativo: