Use a Regra da Cadeia para determinar
\partial z / \partial t e \partial w / \partial s.
z=\sin \theta \cos \varphi, \quad \theta=s t^{2}, \quad \varphi=s^{2} t

Passo 1

O enunciado define
z = \sin\theta \,\cos\varphi, \quad \theta = s\,t^{2}, \quad \varphi = s^{2}t
e pede as derivadas parciais \partial z/\partial t e \partial z/\partial s. Vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis intermediárias.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de z em relação a \theta e a \varphi. Como
z = \sin\theta \,\cos\varphi,
temos
\frac{\partial z}{\partial \theta} = \cos\theta \,\cos\varphi, \qquad \frac{\partial z}{\partial \varphi} = -\,\sin\theta \,\sin\varphi.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de \theta e \varphi em relação a t:
\frac{\partial \theta}{\partial t} = \frac{\partial (s\,t^{2})}{\partial t} = 2\,s\,t, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{\partial (s^{2}t)}{\partial t} = s^{2}.
Pela Regra da Cadeia,
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial \theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial \varphi}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = \bigl(\cos\theta \cos\varphi\bigr)\,(2s t) + \bigl(-\sin\theta \sin\varphi\bigr)\,(s^{2}),
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\frac{\partial z}{\partial t} = 2\,s\,t\;\cos\theta\cos\varphi - s^{2}\;\sin\theta\sin\varphi.

Passo 4

Em seguida, derivamos \theta e \varphi em relação a s:
\frac{\partial \theta}{\partial s} = \frac{\partial (s\,t^{2})}{\partial s} = t^{2}, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial s} = \frac{\partial (s^{2}t)}{\partial s} = 2\,s\,t.
Aplicando a Regra da Cadeia,
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial \theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial \varphi}\,\frac{\partial \varphi}{\partial s} = \bigl(\cos\theta\cos\varphi\bigr)\,(t^{2}) + \bigl(-\sin\theta\sin\varphi\bigr)\,(2s t),
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\frac{\partial z}{\partial s} = t^{2}\;\cos\theta\cos\varphi - 2\,s\,t\;\sin\theta\sin\varphi.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial t} = 2\,s\,t\;\cos\theta\cos\varphi - s^{2}\;\sin\theta\sin\varphi,
\frac{\partial z}{\partial s} = t^{2}\;\cos\theta\cos\varphi - 2\,s\,t\;\sin\theta\sin\varphi.

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