Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado w=x^{2}+y^{2}+z^{2}, x=2 u-3 v, y=u+v, z=u-v. Encontre \frac{\partial w}{\partial u} e \frac{\partial w}{\partial v}.

Passo 1

O enunciado dá a função composta e pede as derivadas parciais em relação a u e v. Informações fornecidas:
w = x^{2}+y^{2}+z^{2},
x = 2u-3v,\qquad y = u+v,\qquad z = u-v.
Perguntas: encontrar \frac{\partial w}{\partial u} e \frac{\partial w}{\partial v}.

Passo 2

Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se w=f(x,y,z) e x,y,z dependem de u e v, então
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u},
\frac{\partial w}{\partial v}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v}.
Explicando: \frac{\partial w}{\partial x} é a derivada de w tratando y,z fixos; \frac{\partial x}{\partial u} é a derivada de x(u,v) tratando v fixo. A soma pondera as contribuições de cada via x,y,z.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais de w em relação a x,y,z. Como w=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\frac{\partial w}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=2z.
Aqui usei a regra de potência: a derivada de t^{2} em relação a t é 2t.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de x,y,z em relação a u e v a partir das fórmulas dadas:
x=2u-3v \Rightarrow \frac{\partial x}{\partial u}=2,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=-3.
y=u+v \Rightarrow \frac{\partial y}{\partial u}=1,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=1.
z=u-v \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial u}=1,\quad \frac{\partial z}{\partial v}=-1.
Estas são derivadas simples de funções lineares.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da Regra da Cadeia para \frac{\partial w}{\partial u}:
\frac{\partial w}{\partial u}=(2x)\cdot 2+(2y)\cdot 1+(2z)\cdot 1.
Multiplicando:
\frac{\partial w}{\partial u}=4x+2y+2z.

Passo 6

Substituo x,y,z em função de u,v para escrever tudo em termos de u e v. Usando x=2u-3v,\; y=u+v,\; z=u-v:
\frac{\partial w}{\partial u}=4(2u-3v)+2(u+v)+2(u-v).
Faço a expansão passo a passo:
4(2u-3v)=8u-12v,
2(u+v)=2u+2v,
2(u-v)=2u-2v.
Somando:
8u-12v+2u+2v+2u-2v= (8u+2u+2u)+(-12v+2v-2v)=12u-12v.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial u}=12u-12v=12(u-v).

Passo 7

Agora para \frac{\partial w}{\partial v} uso a Regra da Cadeia:
\frac{\partial w}{\partial v}=(2x)\cdot(-3)+(2y)\cdot 1+(2z)\cdot(-1).
Multiplicando:
\frac{\partial w}{\partial v}=-6x+2y-2z.

Passo 8

Substituo x,y,z em termos de u,v:
\frac{\partial w}{\partial v}=-6(2u-3v)+2(u+v)-2(u-v).
Expando cada termo:
-6(2u-3v)=-12u+18v,
2(u+v)=2u+2v,
-2(u-v)=-2u+2v.
Somando:
-12u+18v+2u+2v-2u+2v = (-12u+2u-2u)+ (18v+2v+2v) = -12u+22v.
Logo
\frac{\partial w}{\partial v}=-12u+22v.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}=12u-12v
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}=-12u+22v

Exercícios relacionados