Encontre as derivadas indicadas.
Dada
, encontre
.
Dada
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada mista de terceira ordem
, isto é, primeiro duas derivadas parciais em
e depois uma em
. Informações relevantes que temos:
Não vamos resolver ainda, apenas registramos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos calcular derivadas parciais elementares do argumento
, porque elas aparecem em todas as aplicações da regra da cadeia:
Derivando em relação a
:
pois
é independente de
.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Aqui usei que a derivada de
é
.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
. Lembre que se
então
. No nosso caso
. Além disso,
. Portanto:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Vamos calcular
. Temos
. Usamos a regra do produto:
.
Defina e
. Então
Defina
Calculamos
. Agora
exige outra aplicação da regra do produto e da cadeia: escreva
com
e
.
-
. -
.
Logo
Colocando em evidência
,
Agora volte para
:
Fatorando
,
Passo 5
Agora precisamos de
. Escrevemos
, onde
Usamos novamente a regra do produto para derivar em
:
Calculemos cada parcela.
Primeiro,
. Assim a primeira parcela é
Segundo,
: derive termo a termo (lembre
é constante ao derivar em
).
Somando essas três contribuições:
Passo 6
Agora junte as duas parcelas de
. Ambas têm fator comum
e
aparece em ambas, então podemos fatorar:
Substitua
e simplifique o interior passo a passo:
Calcule
:
Somando com a outra parte de dentro do colchete:
Agrupando termos semelhantes (note
), obtemos
Finalmente substituímos
e
. Assim uma forma final compacta é
com
.