Encontre as derivadas indicadas.
Dada f(x, y)=e^{\cos \left(6 x^{2}+\operatorname{sen}(6 y)\right)}, encontre f_{x x y}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{\cos\bigl(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y)\bigr)}
e pede a derivada mista de terceira ordem f_{xxy}, isto é, primeiro duas derivadas parciais em x e depois uma em y. Informações relevantes que temos:
\text{argumento interno }h(x,y)=6x^{2}+\operatorname{sen}(6y).
Não vamos resolver ainda, apenas registramos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos calcular derivadas parciais elementares do argumento h, porque elas aparecem em todas as aplicações da regra da cadeia:
h(x,y)=6x^{2}+\operatorname{sen}(6y).
Derivando em relação a x:
h_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y)\bigr)=12x,
pois \operatorname{sen}(6y) é independente de x.
Derivando em relação a y:
h_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y)\bigr)=6\cos(6y).
Aqui usei que a derivada de \operatorname{sen}(6y) é 6\cos(6y).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter f_{x}. Lembre que se f=e^{u} então f_{x}=e^{u}u_{x}. No nosso caso u(x,y)=\cos(h(x,y)). Além disso, \frac{d}{dh}\cos(h)=-\operatorname{sen}(h). Portanto:
f_{x}=e^{\cos(h)}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(h)\bigr) = e^{\cos(h)}\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(h)\bigr)\cdot h_{x}.
Substituindo h_{x}=12x obtemos
f_{x}=-12x\,e^{\cos(h)}\operatorname{sen}(h).

Passo 4

Vamos calcular f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_{x}). Temos f_{x}=-12x\cdot\bigl(e^{\cos(h)}\operatorname{sen}(h)\bigr). Usamos a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Defina A(x)=-12x e B(x,y)=e^{\cos(h)}\operatorname{sen}(h). Então
f_{xx}=A_{x}B + A B_{x}.
Calculamos A_{x}=-12. Agora B_{x} exige outra aplicação da regra do produto e da cadeia: escreva B=U\cdot V com U=e^{\cos(h)} e V=\operatorname{sen}(h).
  • U_{x}=e^{\cos(h)}\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(h)\bigr)\cdot h_{x}=-12x\,e^{\cos(h)}\operatorname{sen}(h).
  • V_{x}=\cos(h)\cdot h_{x}=12x\cos(h).
    Logo
B_{x}=U_{x}V+U V_{x}=-12x\,e^{\cos(h)}\operatorname{sen}(h)\cdot\operatorname{sen}(h)+e^{\cos(h)}\cdot 12x\cos(h).
Colocando em evidência 12x e^{\cos(h)},
B_{x}=12x\,e^{\cos(h)}\bigl(\cos(h)-\operatorname{sen}^{2}(h)\bigr).
Agora volte para f_{xx}:
f_{xx}=-12\cdot e^{\cos(h)}\operatorname{sen}(h) + (-12x)\cdot\bigl(12x\,e^{\cos(h)}(\cos(h)-\operatorname{sen}^{2}(h))\bigr).
Fatorando e^{\cos(h)},
f_{xx}=e^{\cos(h)}\Bigl(-12\operatorname{sen}(h)-144x^{2}\bigl(\cos(h)-\operatorname{sen}^{2}(h)\bigr)\Bigr).

Passo 5

Agora precisamos de f_{xxy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_{xx}). Escrevemos f_{xx}=e^{\cos(h)}\cdot Q(x,y), onde
Q(x,y)=-12\operatorname{sen}(h)-144x^{2}\bigl(\cos(h)-\operatorname{sen}^{2}(h)\bigr).
Usamos novamente a regra do produto para derivar em y:
f_{xxy}=(e^{\cos(h)})_{y}\,Q + e^{\cos(h)}\,Q_{y}.
Calculemos cada parcela.
Primeiro, (e^{\cos(h)})_{y}=e^{\cos(h)}\cdot\bigl(-\operatorname{sen}(h)\bigr)\cdot h_{y}. Assim a primeira parcela é
(e^{\cos(h)})_{y}\,Q = e^{\cos(h)}\bigl(-\operatorname{sen}(h)\bigr)h_{y}\,Q.
Segundo, Q_{y}: derive termo a termo (lembre x é constante ao derivar em y).
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-12\operatorname{sen}(h)\bigr)=-12\cos(h)\,h_{y}.
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-144x^{2}\cos(h)\bigr)=-144x^{2}\cdot(-\operatorname{sen}(h))\,h_{y}=144x^{2}\operatorname{sen}(h)\,h_{y}.
  • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(144x^{2}\operatorname{sen}^{2}(h)\bigr)=144x^{2}\cdot 2\operatorname{sen}(h)\cos(h)\,h_{y}=288x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)\,h_{y}.
Somando essas três contribuições:
Q_{y}=h_{y}\bigl(-12\cos(h)+144x^{2}\operatorname{sen}(h)+288x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)\bigr).

Passo 6

Agora junte as duas parcelas de f_{xxy}. Ambas têm fator comum e^{\cos(h)} e h_{y} aparece em ambas, então podemos fatorar:
f_{xxy}=e^{\cos(h)}\,h_{y}\Bigl[-\operatorname{sen}(h)\,Q +\bigl(-12\cos(h)+144x^{2}\operatorname{sen}(h)+288x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)\bigr)\Bigr].
Substitua Q=-12\operatorname{sen}(h)-144x^{2}\bigl(\cos(h)-\operatorname{sen}^{2}(h)\bigr) e simplifique o interior passo a passo:
Calcule -\operatorname{sen}(h)\,Q:
-\operatorname{sen}(h)\,Q = 12\operatorname{sen}^{2}(h)+144x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)-144x^{2}\operatorname{sen}^{3}(h).
Somando com a outra parte de dentro do colchete:
\begin{aligned} &12\operatorname{sen}^{2}(h)+144x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)-144x^{2}\operatorname{sen}^{3}(h)\\\ &\quad -12\cos(h)+144x^{2}\operatorname{sen}(h)+288x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h). \end{aligned}
Agrupando termos semelhantes (note 144x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)+288x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)=432x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)), obtemos
12\operatorname{sen}^{2}(h)-12\cos(h)+432x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)+144x^{2}\operatorname{sen}(h)-144x^{2}\operatorname{sen}^{3}(h).
Finalmente substituímos h(x,y)=6x^{2}+\operatorname{sen}(6y) e h_{y}=6\cos(6y). Assim uma forma final compacta é
f_{xxy}=6\cos(6y)\,e^{\cos(h)}\Bigl(12\operatorname{sen}^{2}(h)-12\cos(h)+432x^{2}\operatorname{sen}(h)\cos(h)+144x^{2}\operatorname{sen}(h)-144x^{2}\operatorname{sen}^{3}(h)\Bigr),
com h=6x^{2}+\operatorname{sen}(6y).

Resposta

f_{xxy}=6\cos(6y)\,e^{\cos(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y))}\Bigl(12\operatorname{sen}^{2}(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y))-12\cos(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y))+432x^{2}\operatorname{sen}(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y))\cos(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y))+144x^{2}\operatorname{sen}(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y))-144x^{2}\operatorname{sen}^{3}(6x^{2}+\operatorname{sen}(6y))\Bigr)

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