Use a regra da cadeia e encontre \dot{y} e \ddot{y} em termos de x, \dot{x} e \ddot{x} se:
y=3 e^{x}

Passo 1

O enunciado define
y = 3e^{x},
onde x = x(t) é função do tempo t.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia (para \dot y) e a combinação de regra da cadeia com regra do produto (para \ddot y).

Passo 2

Para obter \dot y, aplicamos a regra da cadeia:
\dot y = \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\,\frac{dx}{dt}.
Como
\frac{dy}{dx} = 3e^{x},
temos
\dot y = 3e^{x}\,\dot x.

Passo 3

Para obter \ddot y, derivamos \dot y = 3e^{x}\dot x em relação a t, usando produto e cadeia:
\ddot y = \frac{d}{dt}\bigl(3e^{x}\dot x\bigr) = 3\frac{d}{dt}\bigl(e^{x}\bigr)\dot x + 3e^{x}\,\ddot x.
Pela cadeia, \dfrac{d}{dt}(e^{x}) = e^{x}\dot x. Logo,
\ddot y = 3\bigl(e^{x}\dot x\bigr)\dot x + 3e^{x}\,\ddot x = 3e^{x}\bigl(\dot x^{2} + \ddot x\bigr).

Resposta

\dot y = 3e^{x}\,\dot x, \qquad \ddot y = 3e^{x}\bigl(\ddot x + \dot x^{2}\bigr).

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