Use a regra de Cramer para resolver
\left\{\begin{array}{l} x+2 z=6 \\ -3 x+4 y+6 z=30 \\ -x-2 y+3 z=8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2z = 6,\\\\ -3x + 4y + 6z = 30,\\\\ -\,x - 2y + 3z = 8 \end{cases}
usando a regra de Cramer. Para isso, vamos definir a matriz de coeficientes A e calcular o determinante \Delta = \det A. Depois, substituiremos cada coluna de A pelos termos independentes para obter \Delta_x, \Delta_y e \Delta_z e, por fim, usar
x = \frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta},\quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}.

Passo 2

Montamos
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -3 & 4 & 6\\\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}
e calculamos \Delta = \det A por regra de Sarrus:
\Delta = 1\cdot4\cdot3 + 0\cdot6\cdot(-1) + 2\cdot(-3)\cdot(-2) - \bigl(2\cdot4\cdot(-1) + 1\cdot6\cdot(-2) + 0\cdot(-3)\cdot3\bigr)
= (12 + 0 + 12) - \bigl((-8) + (-12) + 0\bigr) = 24 - (-20) = 44.

Passo 3

Para \Delta_x, substituímos a primeira coluna de A pelos independentes (6,30,8):
A_x = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 2\\\\ 30 & 4 & 6\\\\ 8 & -2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \Delta_x = \det A_x.
Usando Sarrus,
\Delta_x = 6\cdot4\cdot3 + 0\cdot6\cdot8 + 2\cdot30\cdot(-2) - \bigl(2\cdot4\cdot8 + 6\cdot6\cdot(-2) + 0\cdot30\cdot3\bigr)
= (72 + 0 -120) - \bigl(64 + (-72) + 0\bigr) = (-48) - (-8) = -40.

Passo 4

Para \Delta_y, substituímos a segunda coluna de A pelos independentes:
A_y = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2\\\\ -3 & 30 & 6\\\\ -1 & 8 & 3 \end{pmatrix}, \quad \Delta_y = \det A_y.
Pela regra de Sarrus,
\Delta_y = 1\cdot30\cdot3 + 6\cdot6\cdot(-1) + 2\cdot(-3)\cdot8 - \bigl(2\cdot30\cdot(-1) + 1\cdot6\cdot8 + 6\cdot(-3)\cdot3\bigr)
= (90 -36 -48) - \bigl((-60) + 48 + (-54)\bigr) = 6 - (-66) = 72.

Passo 5

Para \Delta_z, substituímos a terceira coluna de A pelos independentes:
A_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 6\\\\ -3 & 4 & 30\\\\ -1 & -2 & 8 \end{pmatrix}, \quad \Delta_z = \det A_z.
Aplicando Sarrus,
\Delta_z = 1\cdot4\cdot8 + 0\cdot30\cdot(-1) + 6\cdot(-3)\cdot(-2) - \bigl(6\cdot4\cdot(-1) + 1\cdot30\cdot(-2) + 0\cdot(-3)\cdot8\bigr)
= (32 + 0 + 36) - \bigl((-24) + (-60) + 0\bigr) = 68 - (-84) = 152.

Passo 6

Como \Delta = 44 \neq 0, o sistema tem solução única pelo teorema de Cramer:
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-40}{44} = -\frac{10}{11},\quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{72}{44} = \frac{18}{11},\quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{152}{44} = \frac{38}{11}.

Resposta

x = -\frac{10}{11},\quad y = \frac{18}{11},\quad z = \frac{38}{11}.

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