Use a Regra de L’Hôpital para calcular o limite de outras formas de indeterminação.
Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow \infty}(1+2 x)^{\frac{1}{2 \ln (x)}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}(1+2x)^{\frac{1}{2\ln(x)}}
Essa expressão é do tipo 1^0, uma indeterminação que costumamos resolver usando logaritmo para transformar a potência em produto e depois aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
y = (1+2x)^{\frac{1}{2\ln(x)}}
e vamos estudar
\ln(y) = \frac{\ln(1+2x)}{2\ln(x)}.
O limite de y será e^{\lim\ln(y)}.

Passo 3

Analisando
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+2x)}{2\ln(x)},
vemos que numerador e denominador tendem a +\infty, logo é caso de \frac{\infty}{\infty}. Assim podemos aplicar a Regra de L’Hôpital:

Passo 4

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
numerador: \displaystyle\frac{d}{dx}\ln(1+2x)=\frac{2}{1+2x},
denominador: \displaystyle\frac{d}{dx}[2\ln(x)]=\frac{2}{x}.
Então
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+2x)}{2\ln(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{2}{1+2x}}{\tfrac{2}{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{x}{1+2x} =\frac12.

Passo 5

Como \lim\ln(y)=\tfrac12, temos
\lim_{x\to\infty}y =e^{\tfrac12} =\sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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