Em cada um dos itens abaixo, encontre o polinômio de Taylor de grau n da função f em torno de x_{0}.
f(x)=x^{x}, \quad n=1, \quad x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=1 da função f(x)=x^{x} em torno de x_{0}=1. Para isso, vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor de grau 1:
P_{1}(x)=f(1)+f'(1)\,(x-1),
o que exige calcular f(1) e f'(1).

Passo 2

Para facilitar a derivação de f(x)=x^{x}, reescrevemos a função em forma exponencial:
f(x)=x^{x}=e^{x\ln x}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia ao exponencial e a regra do produto ao expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr)=\ln x + 1,
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f'(x)=e^{x\ln x}\,(\ln x+1)=x^{x}\,(\ln x+1).

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
f(1)=1^{1}=1,
f'(1)=1^{1}\,(\ln 1+1)=1\cdot(0+1)=1.

Passo 5

Substituindo em
P_{1}(x)=f(1)+f'(1)\,(x-1)
obtemos
P_{1}(x)=1+1\cdot(x-1)=x.

Resposta

P_{1}(x)=x

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