Use a regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 0 cot (x)cot (2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0cot(x)cot(2x)
usando a regra de L’Hôpital. Vamos ver se a forma é indeterminada e depois aplicar a regra.

Passo 2

Ao fazermos xto0 temos
cot(x)to+infty e cot(2x)to+infty,
logo a expressão é do tipo infty/infty, condição que nos permite usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital derivamos numerador e denominador:
ddx[cot(x)] = -csc^2(x), ddx[cot(2x)] = -2,csc^2(2x)
Então o limite vira
limxto0-csc^2(x)-2,csc^2(2x) = limxto0csc^2(x)2,csc^2(2x) = limxto01/sin^2(x)2/sin^2(2x) = limxto0sin^2(2x)2,sin^2(x)

Passo 4

Para x muito pequeno usamos sin(2x)approx 2x e sin(x)approx x. Logo
sin^2(2x)sin^2(x)approx(2x)^2x^2=4,
e assim
limxto0sin^2(2x)2,sin^2(x)=42=2

Resposta

2

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