Use a regrada cadeia nos Exercícios 1-14.
Exercs. 1-2; Calcule partial w / partial x e partial w / partial y.
2 w=u v+v^2 ; u=x sen y, v=y sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial wpartial x e partial wpartial y da função definida por 2w = u,v + v^2, onde u = x,seny e v = y,senx. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais de w em relação a u e v, além das derivadas de u e v em relação a x e y.

Passo 2

Primeiro, escrevemos w explicitamente em função de u e v:
w = uv + v^22

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de w em relação a u e v. Usando que w = tfrac12(uv + v^2):
partial wpartial u = 12,v, partial wpartial v = 12(u + 2v)

Passo 4

Em seguida, derivamos u(x,y) = x,seny e v(x,y) = y,senx em relação a x e y:
partial upartial x = seny, partial upartial y = x,cos y,
partial vpartial x = y,cos x, partial vpartial y = senx

Passo 5

Finalmente aplicamos a regra da cadeia para calcular partial wpartial x e partial wpartial y:
partial wpartial x = partial wpartial u,partial upartial x + partial wpartial v,partial vpartial x,
partial wpartial y = partial wpartial u,partial upartial y + partial wpartial v,partial vpartial y

Passo 6

Substituindo as derivadas encontradas e lembrando que u = x,seny e v = y,senx, chegamos às expressões finais.

Resposta

As derivadas parciais são
partial wpartial x = y,senx,seny + ycos x,(x,seny + 2y,senx)2,
partial wpartial y = x,y,senx,cos y + senx,(x,seny + 2y,senx)2

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