Use a série binomial para expandir:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para expandir
usando a série binomial. Informações dadas e o que devemos obter:
- A expressão a expandir é
. - O expoente é
. - Queremos uma expansão em série de potências em
(isto é, em termos de ). - Devemos também indicar a região de validade (quando a série converge).
Passo 2
Apresentando a fórmula da série binomial (a “ferramenta” que vamos usar), com explicação passo a passo:
- Para um número real (ou complexo)
e para vale a série
onde cada coeficiente generalizado é definido por
para
e
.
- O que significa cada símbolo:
é o expoente (aqui ), é o termo que somamos a (aqui será ), e é o fatorial de (produto ). - A condição de convergência da série é
. Vou usar isso depois para encontrar a condição em .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Tome
e . Então
- Esta expressão já é a série geral; agora vamos calcular os primeiros termos explicitamente para ver o padrão e ter uma expansão prática.
Passo 4
Calculemos termo a termo (mostrando as contas de forma clara e sem pular etapas):
k=0:
termo:
.
k=1:
termo:
k=2:
termo:
k=3:
termo:
k=4:
termo:
Esses cálculos mostram que os primeiros termos ficam bem simples quando simplificamos frações passo a passo.
Passo 5
Juntando os termos que calculamos, a expansão parcial (os primeiros termos) é
O termo geral da série pode ser escrito como
ou explicitamente
Passo 6
Convergência: como a série binomial exige
e aqui
, a condição é
Ou seja, a expansão acima vale para
.