Use a série binomial para expandir:
(c) (1-2 x)^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para expandir (1-2x)^{3/2} usando a série binomial. Informações dadas e o que devemos obter:
  • A expressão a expandir é (1-2x)^{3/2}.
  • O expoente é \alpha=\tfrac{3}{2}.
  • Queremos uma expansão em série de potências em x (isto é, em termos de x^k).
  • Devemos também indicar a região de validade (quando a série converge).

Passo 2

Apresentando a fórmula da série binomial (a “ferramenta” que vamos usar), com explicação passo a passo:
  • Para um número real (ou complexo) \alpha e para |u|<1 vale a série
(1+u)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}u^{k},
onde cada coeficiente generalizado é definido por
\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}
para k\ge 1 e \binom{\alpha}{0}=1.
  • O que significa cada símbolo: \alpha é o expoente (aqui \tfrac{3}{2}), u é o termo que somamos a 1 (aqui será -2x), e k! é o fatorial de k (produto 1\cdot2\cdots k).
  • A condição de convergência da série é |u|<1. Vou usar isso depois para encontrar a condição em x.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Tome u=-2x e \alpha=\tfrac{3}{2}. Então
(1-2x)^{3/2}=(1+u)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{3/2}{k}(-2x)^{k}.
  • Esta expressão já é a série geral; agora vamos calcular os primeiros termos explicitamente para ver o padrão e ter uma expansão prática.

Passo 4

Calculemos termo a termo (mostrando as contas de forma clara e sem pular etapas):
k=0:
\binom{3/2}{0}=1,\qquad (-2x)^{0}=1,
termo: 1.
k=1:
\binom{3/2}{1}=\frac{3}{2},\qquad (-2x)^{1}=-2x,
termo: \dfrac{3}{2}\cdot(-2x) = -3x.
k=2:
\binom{3/2}{2}=\frac{\tfrac{3}{2}\left(\tfrac{3}{2}-1\right)}{2!}=\frac{\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{3}{8},
(-2x)^{2}=4x^{2},
termo: \dfrac{3}{8}\cdot 4x^{2}=\dfrac{3}{2}x^{2}.
k=3:
\binom{3/2}{3}=\frac{\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{3!} =\frac{\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})}{6} =\frac{-3}{48}=-\frac{1}{16},
(-2x)^{3}=-8x^{3},
termo: -\tfrac{1}{16}\cdot(-8x^{3})=\tfrac{1}{2}x^{3}.
k=4:
\binom{3/2}{4}=\frac{\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})\cdot(-\tfrac{3}{2})}{4!} =\frac{\tfrac{9}{16}}{24}=\frac{9}{384}=\frac{3}{128},
(-2x)^{4}=16x^{4},
termo: \dfrac{3}{128}\cdot 16x^{4}=\dfrac{3}{8}x^{4}.
Esses cálculos mostram que os primeiros termos ficam bem simples quando simplificamos frações passo a passo.

Passo 5

Juntando os termos que calculamos, a expansão parcial (os primeiros termos) é
(1-2x)^{3/2}=1-3x+\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{3}+\tfrac{3}{8}x^{4}+\cdots
O termo geral da série pode ser escrito como
\sum_{k=0}^{\infty}\binom{3/2}{k}(-2)^{k}x^{k}
ou explicitamente
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\tfrac{3}{2}\right)\left(\tfrac{3}{2}-1\right)\cdots\left(\tfrac{3}{2}-k+1\right)}{k!}(-2)^{k}x^{k}.

Passo 6

Convergência: como a série binomial exige |u|<1 e aqui u=-2x, a condição é
|-2x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\tfrac{1}{2}.
Ou seja, a expansão acima vale para |x|<\tfrac{1}{2}.

Resposta

(1-2x)^{3/2}=1-3x+\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{3}+\tfrac{3}{8}x^{4}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{3/2}{k}(-2)^{k}x^{k}
\text{válida para }|x|<\tfrac{1}{2}.á

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