Questão 3. ( \mathbf{3 5} pontos) Um açude contém, inicialmente, um volume V_{0}>0 litros de água pura. O açude recebe um fluxo indesejável de produtos químicos a uma taxa fixa de \alpha litros por ano, com concentração fixa de c_{0} gramas por litro. A mistura é retirada do açude a uma taxa \beta \geq \alpha litros por ano, de forma que o volume do lago num instante t é dado por V(t)=V_{0}-(\beta-\alpha) t. Nestas condições, a quantidade do produto no lago é solução da EDO
\frac{d Q}{d t}=\alpha c_{0}-\beta \frac{Q}{V(t)}
(a) VERIFIQUE que Q(t)=c_{0}\left(V_{0}-t(\beta-\alpha)-V_{0}^{\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}}\left(V_{0}-t(\beta-\alpha)\right)^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\right) =c_{0}\left(V(t)-V_{0}^{\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}} V(t)^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\right) é a solução do problema enunciado. (15 pontos)
(b) No caso \alpha=\beta, resolva a EDO (2), com a condição inicial dada e os métodos estudados nas aulas. (20 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • Volume inicial do açude: V_{0}>0 litros.
  • Entrada de poluente: fluxo volumétrico \alpha litros/ano com concentração c_{0} gramas/litro.
  • Saída de mistura: fluxo volumétrico \beta\geq\alpha litros/ano.
  • Volume no instante t: V(t)=V_{0}-(\beta-\alpha)t.
  • A quantidade do poluente no lago, Q(t) (em gramas), satisfaz a EDO
\frac{dQ}{dt}=\alpha c_{0}-\beta\frac{Q}{V(t)}.
  • Condição inicial (implícita no enunciado): água inicialmente pura, logo \;Q(0)=0.
Perguntas:
(a) Verificar que a função
Q(t)=c_{0}\Bigl(V(t)-V_{0}^{\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}}\,V(t)^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\Bigr)
é solução do problema (isto é, satisfaz a EDO e a condição inicial).
(b) No caso \alpha=\beta, resolver a EDO com a condição inicial dada.

Passo 2

Preparação para (a): vamos verificar que a função proposta satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial. Para facilitar as contas, defino uma constante (que depende apenas de V_{0},\alpha,\beta):
k:=V_{0}^{\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}}.
Então a solução proposta se escreve
Q(t)=c_{0}\bigl(V(t)-k\,V(t)^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\bigr).
Também uso a derivada do volume:
\frac{dV}{dt}=-(\beta-\alpha).
Lembre-se: a verificação consiste em calcular \frac{dQ}{dt} a partir da fórmula e comparar com o lado direito da EDO \alpha c_{0}-\beta\frac{Q}{V(t)}, além de checar Q(0)=0.

Passo 3

Calcular \frac{dQ}{dt} aplicando regra da cadeia e regra da potência.
Começo diferenciando termo a termo:
\frac{dQ}{dt}=c_{0}\left(\frac{dV}{dt}-k\cdot\frac{d}{dt}\bigl(V(t)^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\bigr)\right).
Pela regra da potência e cadeia,
\frac{d}{dt}\bigl(V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\bigr)=\frac{\beta}{\beta-\alpha}V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\cdot\frac{dV}{dt}.
Substituindo de volta:
\frac{dQ}{dt}=c_{0}\left(\frac{dV}{dt}-k\cdot\frac{\beta}{\beta-\alpha}V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\cdot\frac{dV}{dt}\right).

Passo 4

Fatorando \frac{dV}{dt} obtemos
\frac{dQ}{dt}=c_{0}\frac{dV}{dt}\left(1-k\cdot\frac{\beta}{\beta-\alpha}V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\right).
Agora substituo \frac{dV}{dt}=-(\beta-\alpha):
\frac{dQ}{dt}=c_{0}\bigl(-(\beta-\alpha)\bigr)\left(1-k\cdot\frac{\beta}{\beta-\alpha}V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\right).
Distribuindo -(\beta-\alpha) dentro do parêntese:
\frac{dQ}{dt}=c_{0}\Bigl(-(\beta-\alpha)+k\cdot\beta\,V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\Bigr).
Reescrevo o primeiro termo combinando sinais:
-(\beta-\alpha)=-\beta+\alpha,
logo
\frac{dQ}{dt}=c_{0}\Bigl(\alpha-\beta + k\cdot\beta\,V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\Bigr).

Passo 5

Agora calculo o lado direito da EDO usando a expressão de Q(t):
\alpha c_{0}-\beta\frac{Q}{V} =\alpha c_{0}-\beta\frac{c_{0}\bigl(V-kV^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\bigr)}{V}.
Fatorando c_{0}:
\alpha c_{0}-\beta\frac{Q}{V} =c_{0}\left(\alpha-\beta\frac{V-kV^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}{V}\right).
Dividindo os termos dentro da fração:
\alpha-\beta\frac{V-kV^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}}{V} =\alpha-\beta\left(1-kV^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\right).
Distribuindo -\beta:
\alpha-\beta +\beta k V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}.
Portanto
\alpha c_{0}-\beta\frac{Q}{V}=c_{0}\Bigl(\alpha-\beta +k\cdot\beta\,V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\Bigr).

Passo 6

Comparando a expressão de \frac{dQ}{dt} encontrada no Passo 4 com a expressão do lado direito obtida no Passo 5, vemos que são idênticas:
\frac{dQ}{dt}=c_{0}\Bigl(\alpha-\beta +k\cdot\beta\,V^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}-1}\Bigr) =\alpha c_{0}-\beta\frac{Q}{V}.
Logo a função proposta satisfaz a equação diferencial. Falta checar a condição inicial.

Passo 7

Verificação da condição inicial Q(0)=0.
Usando a forma original da solução e V(0)=V_{0}:
Q(0)=c_{0}\Bigl(V_{0}-V_{0}^{\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}}V_{0}^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\Bigr).
No expoente do segundo termo somam-se os expoentes:
\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}+\frac{\beta}{\beta-\alpha}=\frac{-\alpha+\beta}{\beta-\alpha}=1,
então V_{0}^{\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}}V_{0}^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}=V_{0}^{1}=V_{0}. Assim
Q(0)=c_{0}(V_{0}-V_{0})=0,
o que coincide com a condição inicial. Concluímos que a função dada é realmente solução do problema para \beta>\alpha (caso tratado pela fórmula apresentada).

Passo 8

Agora resolvemos o caso \alpha=\beta (item (b)). Quando \alpha=\beta temos \beta-\alpha=0, portanto o volume é constante:
V(t)=V_{0}\quad\text{para todo }t.
A EDO original
\frac{dQ}{dt}=\alpha c_{0}-\beta\frac{Q}{V(t)}
fica, com \alpha=\beta,
\frac{dQ}{dt}=\alpha c_{0}-\alpha\frac{Q}{V_{0}}.
Esta é uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes:
\frac{dQ}{dt}+\frac{\alpha}{V_{0}}Q=\alpha c_{0}.

Passo 9

Resolver a EDO linear por fator integrante (integrating factor). O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int\frac{\alpha}{V_{0}}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{\alpha}{V_{0}}t\right).
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\Bigl(Q(t)\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}\Bigr)=\alpha c_{0}\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}.
Integro em t:
Q(t)\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}=\int \alpha c_{0}\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}\,dt + C.
Calculo da integral: como \int e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}dt=\frac{V_{0}}{\alpha}e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t},
\int \alpha c_{0}\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}\,dt=\alpha c_{0}\cdot\frac{V_{0}}{\alpha}e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}=c_{0}V_{0}\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}.
Logo
Q(t)\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}=c_{0}V_{0}\,e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}+C.
Dividindo por e^{\frac{\alpha}{V_{0}}t}:
Q(t)=c_{0}V_{0}+C\,e^{-\frac{\alpha}{V_{0}}t}.

Passo 10

Aplicar a condição inicial Q(0)=0 para achar C:
0=Q(0)=c_{0}V_{0}+C\cdot e^{0}=c_{0}V_{0}+C \quad\Rightarrow\quad C=-c_{0}V_{0}.
Substituindo em Q(t) obtemos a solução final no caso \alpha=\beta:
Q(t)=c_{0}V_{0}\Bigl(1-e^{-\frac{\alpha}{V_{0}}t}\Bigr).
Essa solução faz sentido fisicamente: começa em zero e tende assintoticamente a c_{0}V_{0} (concentração c_{0} no volume V_{0}).

Resposta

\displaystyle Q(t)=c_{0}\Bigl(V(t)-V_{0}^{\frac{-\alpha}{\beta-\alpha}}\,V(t)^{\frac{\beta}{\beta-\alpha}}\Bigr) é solução da EDO com a condição inicial.
\displaystyle\text{Para }\alpha=\beta:\;Q(t)=c_{0}V_{0}\Bigl(1-e^{-\frac{\alpha}{V_{0}}t}\Bigr).

Exercícios relacionados