Questão 3. (
pontos) Um açude contém, inicialmente, um volume
litros de água pura. O açude recebe um fluxo indesejável de produtos químicos a uma taxa fixa de
litros por ano, com concentração fixa de
gramas por litro. A mistura é retirada do açude a uma taxa
litros por ano, de forma que o volume do lago num instante
é dado por
. Nestas condições, a quantidade do produto no lago é solução da EDO
(a) VERIFIQUE que
é a solução do problema enunciado. (15 pontos)
(b) No caso
, resolva a EDO (2), com a condição inicial dada e os métodos estudados nas aulas. (20 pontos)
(b) No caso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- Volume inicial do açude:
litros. - Entrada de poluente: fluxo volumétrico
litros/ano com concentração gramas/litro. - Saída de mistura: fluxo volumétrico
litros/ano. - Volume no instante
: - A quantidade do poluente no lago,
(em gramas), satisfaz a EDO
- Condição inicial (implícita no enunciado): água inicialmente pura, logo
.
Perguntas:
(a) Verificar que a função
(a) Verificar que a função
é solução do problema (isto é, satisfaz a EDO e a condição inicial).
(b) No caso , resolver a EDO com a condição inicial dada.
(b) No caso
Passo 2
Preparação para (a): vamos verificar que a função proposta satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial. Para facilitar as contas, defino uma constante (que depende apenas de
):
Então a solução proposta se escreve
Também uso a derivada do volume:
Lembre-se: a verificação consiste em calcular
a partir da fórmula e comparar com o lado direito da EDO
, além de checar
.
Passo 3
Calcular
aplicando regra da cadeia e regra da potência.
Começo diferenciando termo a termo:
Pela regra da potência e cadeia,
Substituindo de volta:
Passo 4
Fatorando
obtemos
Agora substituo
:
Distribuindo
dentro do parêntese:
Reescrevo o primeiro termo combinando sinais:
logo
Passo 5
Agora calculo o lado direito da EDO usando a expressão de
:
Fatorando
:
Dividindo os termos dentro da fração:
Distribuindo
:
Portanto
Passo 6
Comparando a expressão de
encontrada no Passo 4 com a expressão do lado direito obtida no Passo 5, vemos que são idênticas:
Logo a função proposta satisfaz a equação diferencial. Falta checar a condição inicial.
Passo 7
Verificação da condição inicial
.
Usando a forma original da solução e
:
No expoente do segundo termo somam-se os expoentes:
então
. Assim
o que coincide com a condição inicial. Concluímos que a função dada é realmente solução do problema para
(caso tratado pela fórmula apresentada).
Passo 8
Agora resolvemos o caso
(item (b)). Quando
temos
, portanto o volume é constante:
A EDO original
fica, com
,
Esta é uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes:
Passo 9
Resolver a EDO linear por fator integrante (integrating factor). O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Integro em
:
Calculo da integral: como
,
Logo
Dividindo por
:
Passo 10
Aplicar a condição inicial
para achar
:
Substituindo em
obtemos a solução final no caso
:
Essa solução faz sentido fisicamente: começa em zero e tende assintoticamente a
(concentração
no volume
).