Use a série de Taylor gerada por e^x em x=1 para calcular uma estimativa para e^1.1. Compare sua estimativa com a fornecida por uma calculadora e use a fórmula do Exercício 29.

Passo 1

O enunciado pede para usar a série de Taylor de e^x centrada em x=1 para estimar e^1.1 e comparar com o valor de uma calculadora, além de usar a fórmula de resto do Exercício 29 (Lagrange). Vamos precisar da expansão de Taylor e da cota de erro.

Passo 2

Para f(x)=e^x, todas as derivadas em x=1 valem f^(k)(1)=e. Assim o polinômio de Taylor de ordem n em torno de a=1 é:
Pn(x)= sumk=0^n f^(k)(1)k!(x-1)^k =esumk=0^n (x-1)^kk!

Passo 3

Vamos escolher n=3 para ter uma boa aproximação rápida. Então
P3(1.1)=el[1 + (0.1) + (0.1)^22! + (0.1)^33!r] =e,[1 + 0.1 + 0.005 + 0.0001667] =etimes1.1051667

Passo 4

Substituindo eapprox2.71828 obtemos
P3(1.1)approx2.71828times1.1051667approx3.00415

Passo 5

O valor fornecido por uma calculadora é e^1.1approx3.00417. A diferença entre a estimativa e o valor real fica em torno de 2times10^-5.

Passo 6

Pelo Exercício 29 (resto de Lagrange) temos para o resto R3:
|R3(1.1)|<=maxxiin[1,1.1]e^xi4!|1.1-1|^4 <= e(0.1)^424approx2.71828times10^-424approx1.13times10^-5 Isso confirma que o erro fica abaixo de 1.2times10^-5.

Resposta

Estimativa: e^1.1approx3.00415. Valor de calculadora: 3.00417. Cota de erro pelo resto de Lagrange: <=1.13times10^-5.

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