Exercício 7: Encontre o volume do sólido W limitado pelos planos y=0, z=0 y=4 e pelo cilindro parabólico z=4-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido $ W $ que é limitado pelos planos $ y = 0 $, $ z = 0 $, $ y = 4 $ e pelo cilindro parabólico $ z = 4 - x^{2} $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente, integrais duplas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições que definem o sólido $ W $. O cilindro parabólico dado por $ z = 4 - x^{2} $ nos mostra que $ z $ varia de 0 até $ 4 - x^{2} $. Os planos $ y = 0 $ e $ y = 4 $ nos indicam que $ y $ vai de 0 a 4. Não há restrição direta para $ x $, mas ela será determinada pelas condições do cilindro parabólico.

Passo 3

Vamos determinar os limites para $ x $. Como $ z $ deve ser não negativa ($ z \geq 0 $), temos:
x
Então, $ x $ varia de -2 a 2.

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. O volume $ V $ é dado por:
V
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $.

Passo 5

Integrando $ z $ de 0 a $ 4 - x^{2} $:
z
Então, a integral simplifica para:
4 - x^2

Passo 6

Agora, integramos em relação a $ y $ de 0 a 4:
y
A integral agora fica:
integral0^4 (4 - x^2) , dy = (4 - x^2) cdot [ y ]0^4 = (4 - x^2) cdot 4 = 16 - 4x^2

Passo 7

Por fim, integramos em relação a $ x $ de -2 a 2:
x
Calculando nos limites:
Para $ x = 2 $:
integral-2^2 (16 - 4x^2) , dx = [ 16x - 4x^33 ]-2^2
Para $ x = -2 $:
x = 2
Subtraindo:
16(2) - 4(2)^33 = 32 - 323 = 96 - 323 = 643

Resposta

O volume do sólido $ W $ é $ \frac{128}{3} $ unidades cúbicas.

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