Exercício 7: Encontre o volume do sólido
limitado pelos planos
e pelo cilindro parabólico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido $ W $ que é limitado pelos planos $ y = 0 $, $ z = 0 $, $ y = 4 $ e pelo cilindro parabólico $ z = 4 - x^{2} $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente, integrais duplas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições que definem o sólido $ W $. O cilindro parabólico dado por $ z = 4 - x^{2} $ nos mostra que $ z $ varia de 0 até $ 4 - x^{2} $. Os planos $ y = 0 $ e $ y = 4 $ nos indicam que $ y $ vai de 0 a 4. Não há restrição direta para $ x $, mas ela será determinada pelas condições do cilindro parabólico.
Passo 3
Vamos determinar os limites para $ x $. Como $ z $ deve ser não negativa ($ z \geq 0 $), temos:
Então, $ x $ varia de -2 a 2.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. O volume $ V $ é dado por:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $.
Passo 5
Integrando $ z $ de 0 a $ 4 - x^{2} $:
Então, a integral simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos em relação a $ y $ de 0 a 4:
A integral agora fica:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a $ x $ de -2 a 2:
Calculando nos limites:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido $ W $ é $ \frac{128}{3} $ unidades cúbicas.