Use séries geométricas para mostrar que
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} x^{2 k}=\frac{1}{1+x^{2}} \quad se -1<x<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k} = \frac{1}{1 + x^{2}} \quad\text{para }-1<x<1.
O conteúdo envolvido é o da série geométrica infinita, cujo termo geral tem forma r^{k} e cuja soma vale \frac{1}{1-r} quando \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Observe que
(-1)^{k}x^{2k} = \bigl(-x^{2}\bigr)^{k}.
Logo a soma fica
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k} = \sum_{k=0}^{\infty}\bigl(-x^{2}\bigr)^{k},
uma série geométrica de razão r = -x^{2}.

Passo 3

Para a série geométrica infinita \sum_{k=0}^{\infty}r^{k} convergir é preciso \lvert r\rvert<1. Aqui
\lvert r\rvert = \lvert -x^{2}\rvert = x^{2}.
Como -1<x<1, temos x^{2}<1 e a condição de convergência está assegurada.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica,
\sum_{k=0}^{\infty}r^{k} = \frac{1}{1 - r},
com r = -x^{2}, obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k} = \frac{1}{1 - (-x^{2})} = \frac{1}{1 + x^{2}}.

Resposta

\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k} = \frac{1}{1 + x^{2}} \quad\text{para }-1<x<1.

Exercícios relacionados